Re: [分析] uniformly continuous

[znmkhxrw (QQ)]

Since lim f(x) = L

we have for all ε>0, there exists M > 0 s.t.

for all x ≧ M, |f(x) - L| < ε


1.for xε[0,M], f(x) is uniformly continuous.

  (continuous mapping with a compact domain is an uniformly continuous mapping)


2.for xε[M,oo), we write down the definition：

  for x,y ε[M,oo), for all ε>0 , any δ>0 (比there exists 更強)

  when │x-y│< δ

 │f(x)-f(y)│=│f(x)-L+L-f(y)│≦│f(x)-L│+│f(y)-L│

                                <      ε   +     ε  = 2ε

  (在[M,oo)這個區域,不管x,y取多少,一定會符合 |f(x) - L| < ε)


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不知道這樣可不可以@@"

好久沒碰高微了XD

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.243.147.38
→ znmkhxrw    :補一下 如果懷疑x,y分別選在[0,M]跟[M,oo)
→ znmkhxrw    :把│f(x)-f(y)│拆成│f(x)-f(M)│+│f(y)-f(M)│
→ znmkhxrw    :δ取兩邊的min(在此因為右邊任意皆可  所以取左)
→ znmkhxrw    :這樣就確保了"f在[0,M],[M,oo)分別均勻連續的話"
→ znmkhxrw    :聯集起來也會
推 Madroach    :看起來是可以的 很詳細! 其實我覺得V大那樣寫就夠了
→ Madroach    :但我還是好奇J從基本定義出發的證明
推 math1209    :反証:若非, 則存在兩組數列 {a_n}, {b_n} 使得
→ math1209    :a_n - b_n -> 0 but...(應該很顯然了)