→ Etsu :Bilingual 10/06 04:40
推 arsoimeme :謝謝！ 10/06 11:52
※ 引述《arsoimeme (快點用功念書)》之銘言：
: 最近自己一直在念複變，在用複變函數理論解積分題時，遇到了一些問題：
: 1.
: 2π
: ∫ (sinθ)^2 (cosθ)^4 dθ = ? Ans: π/8
: 0
: 設 z=e^(iθ)
: 因此 sinθ=(1/(2i))(z-1/z) , cosθ=(1/2)(z+1/z) , dθ= dz/iz
: 代入題目中...並計算單位圓中的異點之留數...
: 但因為出現了4次方，越算越複雜,算了好久，最後答案也不對。
: 恭請高手提示～
利用簡單的公式吧 (sinθ)^2=1-(cosθ)^2
這樣其實在算
2π
∫ (cosθ)^n dθ = ? n is even
0
利用你的假設
可以得到
∫ (cosθ)^n dθ =[(i(2^n))^-1]∫[(z+1/z)^n]/z dz
by 留數定理 你只需要算(z+1/z)^n的常數項，他就是===>[n!/{(n/2)!(n/2)!}]
[(i(2^n))^-1]∫[(z+1/z)^n]/z dz=π[2^(n-1)]^(-1)[n!/{(n/2)!(n/2)!}]
這裡會用到條件n是偶數
所以把n=4 和6代進去 就會得到 3π/4-5π/8=π/8
: 2. ∞
: ∫ sinx/(x^2-4x+5) dx = ? 這題算是簡單題，但我算出來是 πsin2/e
: -∞
: 解答卻是πsin1/e，是否解答錯了？因為我檢查過還是沒找到問題。
: 3.
: ∞
: 證明 ∫ sin(x^2) dx = (1/2)(π/2)^(1/2)
: 0
: 可利用 e^(iz^2) = cos(z^2) + i sin(z^2)證明此題...
: 書上說可以取圍線為扇形，其圓心角可為任意『第一象限』的角度。
: 我不太懂為什麼不可以超出"第一象限"的原因，懇請版友指教～謝謝了！
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