※ 引述《den07den (aa)》之銘言：
: 麻煩幫忙簡答一下下面的題目
: (希望有詳細的過程)
: 這題卡了我好久了...
: v x (2v-x)
: i(v)=∫ ────── ──────── dx
: 1 (x^2-1)^0.5 [(2v-x)^2-1]^0.5
: prove that lim i(v) = π/4
: v→1+
看以下這個積分路徑(v = 1.1)
http://images.plurk.com/5082481_7697b083709504d19a1eceb650e41055.jpg
(1) 當1/4圓半徑(ε)趨近於0時，且v趨近於1就是題目所求
(2) (4) 當ε趨近於0，v趨近於1時，兩條積分路徑互相抵消
(3) 函數在這一段不會發散 |f(z)| < B (Bound)
v
|∫ f(z)dz| <= ∫ |f(z)|dz <= ∫ Bdz 趨近於0 (當v趨近於1)
(3) (3) 1
(5) 繞個極點轉1/4圈，留數要除以四
z (2v-z) |
lim Res[f(z), z = 1] = lim ────── ──────── (z-1)|
v→1+ v→1+ (z^2-1)^0.5 [(2v-z)^2-1]^0.5 |z=1
z(2-z)(z-1) |
= ───────────|
(z-1)[(z+1)(z-3)]^0.5 |z=1
1
= ───
2i
2πi 1
原式所求 = ─── ─── = π/4
4 2i
解法不是很嚴謹，請大家指教
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