Re: [微積] 這個複變積分為何是0?

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※ 引述《pipidog (如果狗狗飛上天)》之銘言：
: int[ (z^2+2z) ‧ (4z^2+1)^-1 ‧ (z-2)^-2 ],
: 在複變平面上繞一個半徑為pi的圓.
: 題目說,不需要計算留數,就可以直接說明這個積分是0 !
: 想了很久,想不通為什麼,真的辛辛苦苦的算出留數,還真
: 的是0. 不知道有沒有人可以提供一點理由,為什麼這個
: 題目不需要算就可以知道一定是0? 整整卡了一下午啊
: 這題~~

              z^2+2z
∮       ---------------  dz
 |z|=π  (4z^2+1)(z-2)^2

                  1
顯然所有poles(z=±-，z=2)都在 |z|=π內
                  2

這個情形往往使用複連通的柯西積分原理會快很多


我們先做一個 Laurent 級數出來：
                                       1/4
分子分母分別降冪排列，結果發現第一項是 ---，
                                       z^2

做到這就可以停了，因為分子分母降冪排列，往後的商只會使分母

次數越來越高而已，也就是z^(-1)這一項永不出現

再來再看看這個Laurent級數收斂範圍在哪:

因為Taylor級數一項都沒有出現，又Laurent principle part有無窮項

這表示這個級數的收斂範圍必定是如下的斜線區域

       ︱
  ＼ \ ∣ / ／
    ＼\︱/／   至於確切的收斂範圍為何在這裡並不重要
   ——○——
    ／/∣\＼   因為若是|z|=π上的每一點都屬於這個斜線區域
  ／ / ︱ \ ＼
       ︱      則剛剛那個Laurent級數可適用於這個積分

               又因為 (1/z)不見了，所以積分值=0

若是原本的積分路徑上的每一點不完全在此斜線區中，那表示所做的Laurant級數

不能被拿來計算這個線積分，

但就算如此也沒關係，因為該Laurent級數的收斂範圍是不斷往外無窮擴散

所以一定找得到一個足夠大(不一定要無窮大)的簡單封閉曲線C，使

得|z|=π在這個曲線內部，且這個很大的簡單封閉曲線上

的每個點都屬於斜線區域=>因此Laurant級數

可以拿來計算積分路徑變成C的這個積分值 ∮  fdz           = 0
                                        c
                                         ↘ 很大的簡單的封閉曲線

此時根據複連通的柯西積分原理，以及大圈積分路徑和小圈(|z|=π)

之間沒有singularity可知，∮(大圈)fdz = ∮(小圈)fdz

                          = 0         ∴ =0


--
注1:如果大圈的積分路徑C，選作無窮遠處C(∞)的話，且

此時若將 ∮(大圈)fdz ≡ -2πiRes f(∞)

則由複連通的柯西積分原理，會發現extended complex plane上

所有的殘值合=0

也就是  ∮(大圈)fdz ≡ -2πiRes f(∞)

       =∮(小圈)fdz +  2πiΣResf (|z|=π外)

            ↓                ↓

= 2πiΣResf (|z|=π內) + 2πiΣResf (|z|=π外)


移項過來就得到全部的殘值合=0了。

而這一題只不過剛好 2πiΣResf (|z|=π外)=0

所以 2πiΣResf (|z|=π內) = -2πiRes f(∞)

也就是前面po文所述。

--
注2:實際上上述的Laurent級數收斂的範圍為 |z|>2

因為Laurent級數的收斂區間是一由C1.C2構成的環帶

且C1在|z|=π的外面，C2在|z|=π的裡面

而且C1會不斷的往外擴張，直到遇到被積函數f的奇異點為止，

C2則不斷的往內縮，直到遇到被積函數f的奇異點為止

因為所有奇異點都在|z|=π內，所以C1往外不斷擴張至無窮遠(如上圖)

C2則是縮至 z=2停止。

故該級數收斂範圍為|z|>2

--
注3: mantour大說的也是對的，他的意思應該是:

注意到複連通定理告訴我們

∮(大圈)fdz=∮(小圈)fdz

當我們把大圈取為無窮大的時 ∮(小圈)fdz = ∮      fdz
                                          C(R->∞)

利用 ML-inequality
                                                     z^2+2z
lim |∮(小圈)fdz| = lim |∮  fdz| = lim |∮     --------------  dz|
R->∞              R→∞  C(R)      R→∞  C(R) (4z^2+1)(z-2)^2

因為積分路徑是個大圓

故令z=Re^(iθ)，dz=Rie^(iθ)dθ代入

               2  2iθ        iθ     2
因為 分母 = |4R  e    + 1 ||Re    - 2|
           ~~~~~~~~~~~~~~  ~~~~~~~~~~~~~
                ↙             │    ↘
       2        2         2    │                     2         2
=√[(4R cosθ+1)  +(sinθ)  ]  │        =  |(Rcosθ-2) + (Rsinθ) |
                               └──┐
        2        2         2  2    2 │        2    2     2
≧√[(4R cosθ+1)  ]≧√(4R  )  =4R  │  =  | R (cosθ+sinθ)-4Rcosθ+4|
 ──────────────────┘
                           2                 2         R^2
                      =  |R -4R(cosθ-1)|≧|R  - 8R|≧ --- (for large R)
                                                        2
                4
由上知，分母≧2R

            2  2iθ        iθ        2               2    2               2
同理 分子 |R  e     + 2 R e   | =√[(R cos2θ+2Rcosθ) + (R sin2θ+2Rsinθ)  ]

                                      2     2 2     2     2  2       2
                               ≦√[(R  + 2R )  + (R  + 2R  ) ]≦100R

所以 當R→∞時，積分值會趨近於0。

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.40.90.45
推 pipidog     :這個解釋感覺還滿合理的~~~
推 herstein    :推用心!也推這篇文章
推 yyc2008     :請問註二 C1 C2是代表什麼?
→ Mpegwmvavi  :C1.C2都是靠近收斂區域邊界的簡單封閉曲線
→ yyc2008     :謝謝
→ Sfly        :最後一部份, 直接|被積|<= R(R+2)/[(4R^2-1)(R-2)^2]
→ Sfly        : = O(1/R^2) as R>>0.
推 ntust661    :好聞
※ 編輯: Mpegwmvavi      來自: 114.40.83.161        (09/01 12:40)