Re: [其他] 複變函數~線積分2

[JohnMash (John)]

※ 引述《zxc110469 (銀魔實在是太帥了>////<)》之銘言：
: c是繞過a的單位圓(a是第一象限的點  假設是3+3i)
: Sc 1/(z-a) dz=2拍i
: 而Sc 1/(z-a)^2 dz卻是0  = =""
: 這到底是為什麼
: 他們在這個圓裡面的不可解析點不是一樣嗎= =
: 卡在這邊卡很久了><


  ∮_c 1/(z-a) dz

  without loss of generality, you can replace

  the contour with an INFINTESIMAL CIRCLE with center a (why?)

   z=a+ρe^(iθ), ρ constant, 0≦θ≦2π

   dz=iρe^(iθ) dθ

   1/(z-a)=(1/ρ)e^(-iθ)

   1/(z-a)^2=(1/ρ)^2 e^(-2iθ)

  Hence,

   lim_{ρ→0}∮_c 1/(z-a) dz=∫_0^{2π} i dθ=2πi

   lim_{ρ→0}∮_c 1/(z-a)^2 dz=∫_0^{2π} i(1/ρ) e^(-iθ) dθ=0

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◆ From: 112.104.171.32
推 zxc110469   :我英文不太好= =""
推 zxc110469   :我知道你是用算出來的  但我沒辦法從解析那邊來分析
→ zxc110469   :我看書本也是把它算出來  但我不太清楚為什麼會這樣>
推 OldChuang   :建議原po可看看Cauchy's residue thm,影響答案的
→ OldChuang   :是那個函數在singularity上的展開式的-1次方那相
→ OldChuang   :Res(f,Xo)
→ OldChuang   :可是最基本的事需要知道Sc 1/z^2 dz=0
→ OldChuang   :正確的說應該是Sc 1/z^n dz=0 ,if n=/=1
→ OldChuang   :而要說明以上的式子，應該也只有讓z=exp(it),0<t<2pi