作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Math
標題Re: [其他] 一題複變積分
時間Thu Mar 4 01:24:47 2010
※ 引述《s62010020 (CH)》之銘言：
: 一題路徑積分怪怪的
: 題目是
: 積0→無窮: lnx/(x^2+a^2)*x^0.5
: 沒有數學符號 只有lnx在分子 其他在分母
: 應該看的懂吧= =
: 我是取分之線往正X方向
: 不是外圈路徑跟分支點小圓貢獻0
: 然後整理兩條平行的路徑嗎?
: 我整理出來lnx項在實部
: 但是.....
: 我算出來殘值 ia -ia帶入 實部=0
: 不知道哪裡出問題= =
: 麻煩各位高手解惑一下
---
以下皆定義 z 的幅角為 0 ≦ Arg(z) < 2π
使的 z^(m/n) , m、n 屬於 N 且 gcd(m,n)=1
為單值函數 ( similar to ln(z) )
---
令
c1: straight line from z=ρ to z=R
c2: circle |z|=R from arg(z)=0 to arg(z)=2π
c3: straight line from z=R to z=ρ
c4: circle |z|=ρ from arg(z)=2π to arg(z)=0
c: closed contour c1+c2+c3+c4
考慮 ln(z)
∮ ──────── dz
c (z^2+a^2)z^(1/2)
ln(a) + iπ/2 ln(a) + i3π/2
= 2πi*[ ───────── + ────────── ]
2ai*√a *e^(iπ/4) -2ai*√a *e^(i3π/4)
π ln(a) + iπ/2 ln(a) + i3π/2
= ────*[ ──────── + ───────── ]
a^(3/2) e^(iπ/4) e^(-iπ/4)
π
= ─────*[ 4ln(a) - 2π + 4πi ] ____(1)
(2a)^(3/2)
= I (假設)
當 R→∞
ρ→0
積分路徑 c2、c4 會使的積分值 = 0 (證明留給您做)
所以 (1) 的結果可以改寫成
∞ ln(x) ∞ ln(x) + i2π
∫ ──────── - ∫ ───────────── dx = I
0 (x^2+a^2)x^(1/2) 0 (x^2+a^2)x^(1/2) *e^(iπ)
因此
∞ ln(x) 1
∫ ──────── dx = ── Re{I}
0 (x^2+a^2)x^(1/2) 2
π
= ─────[2ln(a) - π]
(2a)^(3/2)
------------------------------------------------------------------------------
抑或是假設 x^2 = k
則原積分可改寫成:
∞ ln(k)
∫ ──────── dk
0 4(k+a^2)k^(3/4)
和前面一樣的算法
我直接列式子:
∞ ln(k) ∞ ln(k) + i2π 2πi*[2ln(a) + iπ]
∫ ──────── dk - ∫ ──────── dk = ──────────
0 4(k+a^2)k^(3/4) 0 -4i(k+a^2)k^(3/4) 4a^(3/2) *e^(i3π/4)
____(2)
令
∞ ln(k)
┌ m = ∫ ──────── dk
│ 0 4(k+a^2)k^(3/4)
│
│ ∞ 1
└ n = ∫ ──────── dk
0 4(k+a^2)k^(3/4)
則 (2) 式可整理成:
π
(m + 2πn) - im = ─────{ [2ln(a) + π] + i[π - 2ln(a)] }
(2a)^(3/2)
比較一下虛部即可得
π
m = ─────[ 2ln(a) - π ]
(2a)^(3/2)
ps: 若遇到取實部、取虛部都還是無法得到欲求的積分
此時你在解 2元1次聯立方程即可
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
推 s62010020 :喔 是不是取幅角的時候不可以跨過分之線阿 03/04 01:29
→ s62010020 :難怪我會算成0.. 03/04 01:30
→ s62010020 :真是太感謝你了 可以安心的睡了!! 03/04 01:30
→ doom8199 :不是不能跨，是會變成在算其它定積分去了 =.= 03/04 01:36
→ s62010020 :我搞錯意思了 我取第二個殘值的時候為什麼不可以取 03/04 01:42
→ s62010020 :-PI/2 ?? 因為您好像取 3PI/2 03/04 01:44
→ doom8199 :因為我一開始就定義 0 ≦ Arg(z) < 2π 03/04 01:45
→ doom8199 :為的是要定義到底被積函數 z^(m/n) 該取哪個來算 03/04 01:46
推 s62010020 :喔 那我了解了 謝謝你~~~ 03/04 01:47
→ doom8199 :您也可以取其它區間，不一定要取 0~2π 03/04 01:48
推 jojo999 :問一下,C不是繞上半大圓和繞圓點小圓還有正負實軸 03/04 01:51
→ jojo999 :這樣的話z=-ai不就沒有在C裡面了? 03/04 01:52
→ doom8199 :囧，要繞一整圈， 我文字敘述寫錯了... 感謝樓上提醒 03/04 01:54
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (03/04 02:02)
推 jojo999 :第二個方法的實部好像是2lna-π 03/04 02:07
→ doom8199 :我應該是沒算錯， 大括號外的係數，其實就是 = n 03/04 02:25
→ doom8199 :可直接套 beta function 算出來 03/04 02:25
→ doom8199 :若括號裡的實數是 2lna-π , 會推得 n=0 不合 03/04 02:26
推 jojo999 :恩對 我看錯了= =" 03/04 02:39
→ jojo999 :還有你說的沒有辦法的時候解二元一次是指嘗試把 03/04 02:41
→ jojo999 :(2)式右邊=am^2+bm+cn這個意思嗎? 03/04 02:41
→ doom8199 :就是實部會得到一個eq.，虛部也會得到一個 eq. 03/04 02:44
→ doom8199 :兩個聯立，嘗試解出 m、n 03/04 02:45
推 jojo999 :恩恩 謝謝 03/04 02:46
→ doom8199 :除非假設得很奇怪OTZ , 不然通常會是2元1次方程組 03/04 02:46