※ 引述《chiehfu ( Hate)》之銘言：
: Consider z^(n-1)e^(1/z-z) 這個function integrated around the unit
: circle.
: 要證明 n = 1,2,......
: 2π
: ∫ cos(nθ- 2sinθ)dθ = 2πsum{k=0~infty}((-1)^k / (n+k)!k!)
: 0
: 目前我是從z^(n-1)e^(1/z-z)能化簡到 e^(i(θn-2sinθ) e^(-iθ)
: 但之後就不知道該怎麼辦了....
: 謝謝.
基本上就是Residue Thm
n-1 1/z-z z=e^(iθ) 2π
∮ z e dz === ∫ i exp[iθ(n-1) + e^(-iθ)-e^(iθ)+iθ]dθ
0
2π n-1
= ∫ i exp[ inθ- 2i sinθ ] dθ = 2πi Res z exp[1/z-z]
0 z=0
因為等號的右邊是純虛數 所以左邊只要考慮虛部
2π
i∫cos(nθ- 2sinθ)dθ
0
至於等號右邊的Residue硬算就是了
n ∞ k n
(1/z) z exp[1/z-z] = (1/z) Σ (1/k!)(1/z-z) z
k=0
──────────
在底線的部分要挑出z的常數項來 展開以後你會發現這些項分別來自k=n, n+2, n+4,...
n+2 n+4
他們的係數分別是 1/n! -1/(n+2)!*C 1/(n+4)!*C ....
1 2
∞ k
所以最後就是 Σ (-1) /[(n+k)!k!]
k=0
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