推 tuty :有神快拜!!! 老師好!!! 10/05 09:34
推 Lanjaja :謝謝，我後來想到這樣解，還真迂迴 10/05 11:18
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我想請問一下這一題有技巧的複變積分
: π
: (1/π)*∫exp(cosθ) * cos(sinθ - nθ)dθ
: 0
: 答案是1/n!
: 重點是不知道怎麼算，我知道這邊的複變強者很多，感謝賜教
首先，利用變數代換 θ-> 2π-θ及各種三角函數性質，
知道原積分等於 1/2 * (0 到 2π的積分). 我們以下就處理
0 到 2π的積分。
被積分函數
exp(cosθ) * cos(sinθ - nθ)
= Re( exp(cosθ) * exp( i(sinθ- nθ) ) )
= Re( cosθ+ isinθ - inθ )
= Re( exp( exp(iθ) - inθ ).
令 z= exp(iθ), θ=0..2π時, z 逆時針方向繞單位圓 C 一圈，
而積分成為：
2π
(1/2π)*∫exp(cosθ) * cos(sinθ - nθ)dθ
0
2π
= Re[ (1/2π)*∫exp(exp(iθ)- inθ)dθ ]
0
exp(z) 1
= Re[ (1/2π)*∫--------- * ---- dz ]
C z^n iz
exp(z)
= Re[ (1/2πi)*∫--------- dz ]
C z^(n+1)
= Re[ exp(z) 在原點的 Taylor 展開式中 z^n 的係數 ] = 1/n!
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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◆ From: 140.122.140.53
※ 編輯: yclinpa 來自: 140.122.140.53 (10/05 08:39)