Re: [複變] 關於冪級數展開中, 係數比的極限

[ppia (papayaPaul)]

※ 引述《hcsoso (索索)》之銘言：
: 最近在自修複變, 碰上了一些問題;
: 在版上爬過一陣文, 沒有找到相關的題目,
: 有請了解的人能給個思考的方向, 謝謝大家!
: (不要詳解! 想要再想想看, 只是不知如何下手.)
: 在 Stein & Shakarchi 的複變課本中 p67 第 14 題 :
: 設 f 在包含閉單位圓的開集合上複可微, 除了單位元上某一點 z* 是個 pole 之外.
: 若以 a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... 表示 f 在開單位圓上的冪級數展開,
: 則請證明
:                           lim     a  / a     =  z*.
:                        n -> infty  n    n+1
: 不太知道第一步要從哪裡著手?

                      k
我覺得寫成 f(z)(z-z_0) = g(z) 反而不太容易看, 我是把 f(z) 表示成

                                     2       k
        f(z) = (1 + (z/z_0) + (z/z_0)  + ...)  g(z)

             = a_0 + a_1 z + a_2 z^2  + ...

          g(z): holomorphic on Ω with g(z_0) != 0

如果我沒搞錯的話, 應該可以逐步的證明下列幾件事:
                        n
If k = 1,  lim  a  (z_0)   exists and does not equals zero.
          n→∞  n
                           n
                   a_n(z_0)
If k = 2,  lim   ──────  exists and does not equals zero.
          n→∞        n
                           n
                   a_n(z_0)
If k = 3,  lim   ──────  exists and does not equals zero.
          n→∞    (1+...+n)

    ....

Generally, put S_{1,n}= 1 (for all n),   S_{n,t+1} = S_{1,t} + ... + S_{n,t}

                           n
                   a_n(z_0)
           lim   ─────  exists and does not equals zero.
           n→∞    S_{nk}

注意到 S_{nk} = p_k(n), p_k(x) 是一個 k 階的多項式. 試試看吧~
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◆ From: 114.32.4.99
※ 編輯: ppia            來自: 114.32.4.99          (01/19 22:36)
推 hcsoso      :謝謝! 剛按照前一種方法解完, 我來試試看這種:)
→ ppia        :沒有惡意. 但是我真的有點懷疑第一種方法可以解的
→ ppia        :出來 因為在那種展開式裡面我們很難用到 g(z_0)!=0
→ ppia        :這件事 然而這件事沒有用上的話這題是做不出來的
推 hcsoso      :其實可以, 我等等寫出那種解法. 當然會用到~
→ hcsoso      :不過, 分析的過程並不簡單, 我想可能沒有你的方法好!
推 hcsoso      :疑? 我突然有點擔心你一開始那樣假設 f(z) 與 g(z)
→ hcsoso      :之間的關係式是可以的嗎? 因為帶 z = z_0 好像會...
→ ppia        :我們只對 |z|<1 做展開就可以了