Re: [拓樸] 請問simply connected

[Lonson ()]

※ 引述《Lindemann (Cosmology is great)》之銘言：
: ※ 引述《Lonson ()》之銘言：
: : 不好意思我是讀工程的
: : http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
: : 遇到一個情形
: : 我想要介紹一個xy平面子區域是"沒有洞"的
: : 剛好查到如上 simply connected set 的例圖
: : 像是我要的東西
: : 但是我不懂數學的嚴格定義  不敢亂套名字來形容我想介紹的圖形
: : 借用上面wiki page的informal定義:
: : Informally, a thick object in our space is simply connected if it consists of
: : one piece and does not have any "holes" that pass all the way through it.
: : 想請問的是
: : 像 S={(x,y)| x^2+y^2 <= 1}  這樣的圖
: : S是simply connected
: : S\{(1,0)}算是simply connected嗎?
:            這個也讓我這個業餘的拓樸玩家來說看看,職業的請鞭小力一點XDDDD
: 因為現在Kelley,Munkres這種比較權威的拓樸學的書全被我鎖在家裡了
: (可能要等退休在看XDDD),我就隨便拿我現在比較常看的Nakahara來說
:            其實這個不是什麼難題,簡單來說simply connected就是一個封閉迴路loop
: 可以連續地縮(shrunk)成一點,而這一點也是在這個集合裡面,所以
:           S\{(0,0)}他是不能縮成一點的(我剛剛真的看錯)不是simply connected
:           S\{(1,0)}是可以縮成一點是simply connected

坦白說我看不是很懂
假設題目換成這樣好了
S={(x,y)| x^2+y^2 < 1}  這樣的圖
unit circle不在S裡
(問題就在邊界)

S可以算是simply-connected嗎
如果是,
我需要證明些什麼東西?

copied from wiki:

A topological space X is called simply connected if
(1)it is path-connected and
(2) any continuous map f : S1 → X (where S1 denotes the unit circle in
Euclidean 2-space) can be contracted to a point in the following sense:
there exists a continuous map F : D2 → X (where D2 denotes the unit disk
in Euclidean 2-space) such that F restricted to S1 is f.

我想path-connected的部分沒什麼問題
可是請問"縮成一點"這個動作
我要怎麼去"寫"出來??

我也另外找到一種定義:
http://ppt.cc/jsFY  第三頁
A two-dimensional region D of the plane consisting of one connected piece is
called simply-connected if it has this property: whenever a simple closed
curve C lies entirely in D, then its interior also lies entirely in D.


我的問題是："沒有洞" 到底是否能保證 simply-connected?


順便請問有沒有推薦這方面的入門書可以讓我研讀一下?
(我只有修過大一微積分)


另外感謝前面LimSinE板友有提到用convex性質去證
但我還是想了解比較依照定義的方式
譬如說我畫一個沒有洞的星星狀, 就沒辦法套convex性質了
※ 編輯: Lonson          來自: 58.114.103.97        (08/17 22:58)
→ THEJOY:我記得APOSTOL第四章好像有提過?
→ WINDHEAD:請搜尋 : star-shaped
→ WINDHEAD:比較保險的進路 : 先證 star-shaped => 與 single point
→ WINDHEAD:homotopy equivalent, 再據此推出 \pi_1 = trivial
推 herstein:http://0rz.tw/6rqGc
→ xcycl:Frank 你竟然寫了臉書上那個問題的解答 XD
推 herstein:題目我出的壓...XD
推 herstein:我發現忘記upload最新版本....
→ Lonson      :感謝樓上您的解惑,相當清楚~!