Re: [拓撲]什麼時候適合學習拓撲學呢?

[khara (foundationalist)]

※ 引述《herstein (天佑台灣)》之銘言：
: 學東西到不是有甚麼順序，學東西嘛。如果有用到其他領域的東西，在
: 翻其他書來看就好了

（以下恕刪）

抱歉離題一下，說幾句題外話。
我覺得，這種「無招勝有招」的觀點，
對一部分人，對特定的階段
也許特別是對天才橫溢的各位高手來說，
是真實的感受。
但，這只怕未必是對所有的人，對每個階段，
都具有意義。

每個人，每個階段，學習需求學習感受都不同。
別人怎麼感覺，我不知道，但我自己至少有切身之痛。

過去學習向量的時候，
我怎麼樣都對那種訴諸直覺卻又不清不楚的一些詭異法則，
對那種奇怪的「量加上方向」云云感到難以接受。
一直到後來稍微碰了一點代數，
稍微感受到「怎麼把我們日常運算的概念抽象出來」
甚至稍微感受到modules的概念，
才得以對向量這種東西稍稍接受。
（嚴格說來也不完全是這順序啦，
　至少是，當我最初學到「在一體上定義的某些抽象法則」的時候，
　感覺就清楚得多了。）

學習複數的時候也是。
本來怎麼樣都對那種所謂「給-1補個根」的說法無法接受。
甚至當初把他當成某種特殊的二維空間都還是感覺很怪。
一直要到稍微反省了一下「根」的意義，
反省了一下數系的建構過程乃至如何擴充一體系，
才對這樣的東西感到自然了一些。

這讓我想起了榮格的回憶錄《回憶．夢．省思》裡的一段故事。
他小時候學數學的時候，
老師跟他說了這樣的斷言：
「若 a=b
　且 b=c
　則 a=c」
似乎很單純的代數基礎公設。
而榮格他卻說，他怎麼樣也不能接受這種「謊言」。
他認為，「a本來就不是b」（英譯 a is by definition not b）
字母a就是a、字母b就是b，
怎麼能說 a=b？又怎能說 b=c？
當然，那個年紀的榮格，
他大概看不到萊布尼茲討論等同概念的文章
（也許這種「＝」語意上不是絕對的同一，只是某種等價）
但這種抗拒卻在他心靈裡種下陰影。
相較於同年紀那些不加思索地（？）接受這東西的孩子們，
榮格雖然也能機械地運算，卻從此視數學為謊言了。
（諷刺的是，其實他後來搞的學問似乎也很像這種 a=b……）
也許對榮格來說，他真的需要的，
是能夠和他深入討論「什麼是等同」，
討論怎樣方法地建構我們思維概念，
甚至推薦他去讀萊布尼茲等人的著作，
這樣的教學。
但初等教學的老師，
大概多半先入為主地認為「越直覺的東西越能被學生接受」。
把一個絕不是「對所有皆適用」的主觀當成定律去了。
當然，也可能是面對這樣的怪學生，
早已不是初等老師所能勝任的。
（也必須承認，學生千奇百怪，罕有教師能完全勝任。）
但榮格這種學習障礙，我認為不是孤例。

看到這裡（感謝您的耐心！），
也許有人要說了：
「那只表示一件事，那就是你不適合碰數學專業。
　可能對你來說，學會初等機械式的運算就夠了。
　你應該另有可發揮專才的領域，不必然得硬碰數學啊！」
我想，我得承認，
我確實較欠缺數學家式的活潑而柔軟的腦筋。
但是學習數學難道就只是數學專業或者工程師的專利？
每個人學習某學科的主觀動機不同，
不必然都得是「看上有發展潛力」才去學。
但既然要去學了，
有機會碰上更有效的學習方法，才有意義。
而不是把一個不必然對每個人每階段都適用的
「不必然得有基礎」
這麼活潑空泛的概念拿來害死自己。
再說吧，體系化、公設公理與邏輯性的推論，
縱然不是真正數學的靈魂，
卻至少也是缺之不可的皮膚骨肉了。
也許對學術最前沿，對只求能有有效學說的人，
背後的根基是個不必在乎的東西。
但我以為，
當初Cauchy這批人奮力地替含混的「無窮小」
補上ε-δ式的邏輯基礎，
除了為應付George Berkeley的反對之外，
應該也是出自對邏輯基礎的敬意吧？

當然，發展系統的發法，不必唯一。
我們都常經驗到，好幾種不同路徑不同出發點的定義，
都同樣有效甚至是等價的。
而從不同視點出發，同一學門能應用的層面也不同，
甚至走向也不同。
但是對於初入門的學人來說，
也許不是對所有人，至少是一部分人，
能夠先系統地學習一套能帶出某學門部分精神的東西，
也未必是無益的。
也許各位高手都天才橫溢，犯不著任何基礎。
但至少以我自己在學習路上碰碰撞撞的感受來說，
能走好一些（或說，某一種、某體系的）基礎，
仍是有意義的。

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Die Psyche erschafft taglich die Wirklichkeit. Ich kann diese
Tatigkeit mit keinem andern Ausdruck als mit Phantasie bezeichnen.
                                                     -- C. G. Jung

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◆ From: 163.14.246.108
推 hanabiz     :h大的意思是等到基礎(像是線代 高微 代數)學好之後
→ hanabiz     :後面的東西其實不用太拘泥於"順序"
→ hanabiz     :學自己喜歡的領域  碰到其他領域的東西再找書來了解
→ hanabiz     :即可    (當然不能跳TONE跳太大拉)
→ khara       :也是啦。h大確實很強。我只是吐吐苦水罷了。
推 herstein    :是的~~~基礎就是高微線代代數...
→ herstein    :其他想學的不要拘泥順序
→ herstein    :想學自己喜歡的領域就去學要用到別的領域的東西在翻
→ herstein    :因為有太多東西式基礎~~但我們永遠都不知道我們需要
→ herstein    :需要的是甚麼...所以最好是找老師指導
推 herstein    :也不用所有的領域基礎都讀完再開始學習喜歡的領域
→ herstein    :在數學中定義強弱可能也是很怪~~XD
推 physicist512:我不是天才~所以必然需要一定的根基。
→ khara       :嗯。感謝！代數高微確實是體會數學精神的主要入門科
→ khara       :再之後，確實枝脈互牽太廣，也不盡好說先與後啦……
→ khara       :只是自己的學習經驗來看，好的方法展開，仍具重要性
→ khara       :這可能真的得多向有學習經驗的人請教了吧。
推 herstein    :是呀~~所以我才說最好找老師指導...你就會清楚自己
→ herstein    :需要甚麼...所以找老師指導是很重要的
推 Lindemann   :推,吳文俊大師這樣的數學家都曾經差點兒放棄數學了
→ Lindemann   :他也是後來遇到很不錯的老師才重拾對數學的興趣