Re: [拓璞] 拓璞學建議用書

[xcycl (XOO)]

多補充一點，Munkres 在定理 19.6 就有提到，如果是給定 X_i (i in I) 這麼多的
拓樸空間，取 product topology 才可以讓 A 到 ΠX_i 的連續函數，看作是
個別的 A 到 X_i 的連續函數，反之亦然。對於 box topology 這點不成立。

習慣上，product 的結構都有這樣的性質。例如二維歐幾里得空間
每一點都可以透過兩個坐標軸來描述，也就是分別投影到坐標軸上

pi_1 : A x B --> A 跟 pi_2 : A x B --> B

而二維空間的函數，也可以由兩個一維的函數來描述，也就是

f : A --> B x C 相等於 f_1 : A --> B 跟 f_2 : A --> C

只要具有投影函數，並且對於其他函數到 product 上都可以分解成兩個函數，
且兩個函數分別到各個 component。即使我們取再多維度，無限也好，
product 就是我們能夠分別看各個 component 來得知這個空間的結構。

而拓墣空間也是，只是連續函數維持的結構是反方向的，也就是

若 O 是開集合，則 f^{-1}(O) 也是開集合

所以 product topology 上，要有上述 product 的性質，我們就只要從
各個拓墣取開集合的 preimage 作為 subbasis 生出來，就能夠剛好滿足了
（請見該定理的證明）。

接著才是一開始書上的定義，將 product topology 定義以 preimage
作為 subbasis 生成。但是拓樸從 subbasis 生成的，只取交集只取有限多個就夠了，
所以 product 上面的開集合實際上是除了有限多個 component 外，都是 A_i 全部。

另外一個書上沒講的是，滿足定理 19.6 的拓樸空間，都會跟 product topology 同胚。
不過該定理的並沒有把整個 universal property 講出來，這樣說不大對我就不說了 ..

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