※ 引述《pig60912002 (扎扎)》之銘言：
: ※ 引述《pig60912002 (扎扎)》之銘言：
: Suppose that f:X →Y with A⊆X and B⊆Y. Find examples which show that the
: given equalities are false.
: (1)f-1(f(A))=A
: (2)f(f-1(B))=B
: ※f-1為反函數
觀察(1):如果函數f是多對一，有兩個點a和b透過f都對到同一個值 y
那{y}的inverse image是什麼？ 答案是 a 和b
但a的image卻只有一個值叫y
所以，如果把A取成 {a}，透過f得f(A)={y}
再由f反映射對回來，變成 f-1{y}={a,b}，就比原來的A大了
於是就有左邊較大的結果
觀察(2):如果B有一些元素不在f(X)裡，意思是f不是onto
ie 因為如果是onto，B⊆Y=f(X)，
如果B有一些元素不在f(X)，當然也就不會在f(f-1(B))裡 因為f(f-1(B))⊆f(X)
那就讓B包含一些Y\f(X)的元素
右式就會比較大了
令 X=Y 都是實數R ，f(x)=0 對所有x屬於R
設 A是小於R的非空子集，如 {0} {1,2} ....隨便
B={0,1}是Y的子集，只要包括有個元素不是0就好了
所以。
R=f-1({0})=f-1(f(A)) 大於A
{0}=f(R)=f(f-1(B)) 小於 B={0,1}
注：當(1)是1-1等式就成立，當(2)是onto就成立...
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