推 kgbtdaguo :謝謝你 01/04 21:44
※ 引述《kgbtdaguo (daguo)》之銘言：
: 題目:
: prove that
: 1 + x + (x^2 /2!) +....+ (x^n/n!) < e^x
首先，這個不等式對於 x≦0 是錯的。以下是我很久以前當高微助教寫的 MVT 的講義。
我稍微刪減一下細節…有需要我再拷貝其細節。
Prove that e^x ≧ 1＋x for all x in |R.
Proof.
方法 (1) MVT (Lagrange).
方法 (2) 考慮求極值 f(x):＝ e^x － (1＋x).
方法 (3) 積分。
方法 (4) Taylor theorem with remainder term.
我們著重於 (4). 如果我們直接考慮 2 次的泰勒定理(在 0 點作)，則有
e^c
e^x ＝ 1 ＋ x ＋ ---- x^2, 此處 c in (0,x) 或 (x,0),
2!
≧ 1 ＋ x,
此乃 e^c ＞ 0 之故。於是，我們利用泰勒定理得到一個求極值的方法：
(Theorem) Let f be a function definde on [a,b] (or |R), if f^(2n) exists
in (a,b) (or |R) and f^(2n) ≧ 0 on (a,b) (or |R), then
2n－1 f^(k) (a)
f(x) ≧ Σ ------------- (x－a)^k.
k＝0 k!
此外，原 Po 希望不等式要成立，我們必須限制 x ＞ 0, 這由泰勒定理來看最為恰當：
因為有餘項的出現。例：e^x ＞ 1 ＋ x ＋ x^2/2!, where x ＞ 0.
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/04 11:05)