※ 引述《Kwanstarfish (Desperado)》之銘言：
: 大家都知道Q is dense in R
: 但我想問的是 那無理數是否也dense in R
: 麻煩各位大大解釋
: 如果能證明的話就更感謝了..
是
Proof:
給定任何一個 R 中的點 x
目標是證明若 x 不是無理數, 則 x 是無理數的極限點
如果 x 不是無理數,
假設不然, 則存在一個 x 的鄰域 N 使得 N 與無理數交集為空
設 N = (x-e,x+e), 則考慮 S = [x-e/2,x+e/2]
S 包含於 N 且 S 交集無理數為空集合, 所以 S 包含在有理數裡面,
但是因為 S 是 perfect set, 所以 S 為不可數, 所以 Q 不可數, 矛盾.
所以假設錯誤, 即 x 是無理數的極限點
所以無理數 dense in R.
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