Re: [微積] 一題高微: [0,1] 內所有有理數的集合不 …

[yclinpa (薇楷的爸)]

※ 引述《Helilo (哈里路)》之銘言：
: Problem: Let E be the set of all rational numbers belongs to [0,1],
:          prove that E is not compact.
: 小弟自行翻譯如下: 給定一個由所有在[0,1]內的有理數構成之集合E，
:                   證明E不是compact。
: 一般常見的做法都是找個極限為[0,1]內某無理數的數列
: 因為任意子數列的極限都為該無理數 因此不屬於E =>得證
: 因為小弟用的是Rudin那本課本
: 對於compact的定義為: 對所有 open cover 存在 finite subcover
: 不知可有直接使用此定義的證明方式？
: 有想過利用Heine-Borel Theorm
: If E in R
: E is compact<=>every infinite subset of E has a limit point in E
: 如果要這樣證的話
: 是否只要找個極限為[0,1]內某無理數的數列 令它為E
: 然後說明此數列中的任一元素皆不是一個limit point即可？
: 還請各位不吝指教<(_ _)>

直接造一個沒有 finite subcovering 的 open covering:

隨便取一個無理數 x, 0 < x < 1。以下的 Un, Vn 形成一個 E 的 open covering:

Un = [0, x - 1/n)
Vn = (x + 1/n, 1]

n >= N, 其中 0 < x-1/N < x+1/N < 1。

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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣  :q

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.122.140.53
推 feynmankao  :老師很缺P幣嗎?
推 Helilo      :這應該就是我想要的答案! 十分感激<(_ _)>
推 Helilo      :補充個小疑問 [0,x-1/n)左邊為閉 這樣算opencover嗎?
→ Helilo      :還是說索性用(-1,x-1/n) (x+1/n,2) 這樣?@@"
推 ntnusliver  :薇爸!
推 austin1119  :與[0,1]是relatively open