[微積] 高微的積分問題

[Helilo (哈里路)]

Prove the following function is integrable


         f(x) =   0  ,  x is not a rational number

                 1/q ,  x = p/q , p,q belong to N, (p,q) = 1



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◆ From: 99.135.74.143
→ scan33scan33:(i) f 在無理點連續,有理點不連續.
→ scan33scan33:(ii) 有理點數目measure zero
→ scan33scan33:(iii) 僅measure zero點不連續,所以可積
→ scan33scan33:再加一個f bdd 才有 (iii)
→ Helilo      :抱歉沒學過measure的概念 能否用別的方法證明orz感謝
推 math1209    :用黎曼上和就行了...
→ math1209    :不過你題目給的不完整. 幸運的是:這題是名題了...
→ Helilo      :可以請教一下完整題目嗎?@@" 因為我看到的題目就這樣
→ Helilo      :另外我也只學過黎曼上下和 但還是想不出來orz
推 math1209    :你在 x = 0 時無定義. (除非你區間變小)
→ math1209    :而且要問是否黎曼可積其定義域必須是 [a,b] (cpt).
→ math1209    :要是問 Lebesgue 可積,就無須區間是 cpt interval.
→ math1209    :不過, 看起來並不像是問 Lebesgue 可積 (這是可以問)
→ math1209    :現在你要處理的是: 積分等於面積 = 底 * 高.
→ math1209    :你必須找出一個適當的 partition.. (你自己想一想)
→ math1209    :在處理積分時,你不妨先從他為什麼只在無理點連續.
→ math1209    :定義 f(0) = 1, 為了使這個黎曼函數(爆米花函數)
→ math1209    :其週期為 1. 你只要處理過為什麼只在無理點連續...
→ math1209    :你就可以利用這個,去知道兩件事: (1) 測度問題.
→ math1209    :(2) 該怎麼使用黎曼上和.
→ Helilo      :感謝math大大 雖然您的話我未能完全看懂
→ Helilo      :不過我試做一個答案不知道對不對
※ 編輯: Helilo          來自: 99.135.74.143        (12/11 13:26)
推 math1209    :那你寫出來看看...
→ Xixan       :我覺得不管用什麼方法  都會用到測度的概念吧