Re: [高微]再問一題關於內部跟閉包的=口=

[k6416337 (とある煞氣の光希)]

※ 引述《ccccc7784 (派大星)》之銘言：
: 在R^2 試求下列各集合的內部.閉包及邊界
: (1)S={(x.y)│y>x^2}
這個畫個y=x^2的圖形就可以判斷了，此為拋物線
所以S為y=x^2上半所有包含到的點(y=x^2上的點除外)
S的內點集合int(S)=S (因為S是開集合)
S的閉包為cl(S)={(x,y)|y≧x^2}
S的邊界為bd(S)={(x,y)|y=x^2}

: (2)S={(1/n + 1/m，1/n)│n，m屬於Z^+，n，m皆不等於0}
S內的點是可數的(因為是由有理數所組成而且又是2維)，既然是可數，那就算是離散型的
點(點與點之間不連續)
因此S是必集合 => S的閉包為cl(S)=S
我們知道內點集合是S的子集合，但由於S的點皆為離散型，所以以S內的每一個點為圓心
畫圓必定會包到不在S的點，因此內點集合為空集合
由於S是閉集合且S內點為空集合，所以知道S的邊界集合就是S本身(閉包=內點集∪邊界)

: 另外問一題
: S={(x.y)屬於R^2│0< x <=1，0<= y <=1} 是否為緊緻?
: 還是不太懂怎麼找
對任意|R^n上的compact set會有一個充要條件，就是一定是有界的閉集合
S很明顯有界，但是不是閉集?不是，因為x=0,0≦y≦1的點是S的邊界點，但卻沒有在S裡面
因此，S並不是閉集合，所以S不compact

你也可以用畫圖來觀察
畫出來會發現S的點會形成頂點(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)的實心正方形，但有一個邊會沒
包到

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律:知道嗎?聽說我們的歌被海外的電視台所錄用耶!看來我們離武道館不遠了
唯:真的嗎?那真的是太好了，我一直夢想能在武道館彈著吉太，好高興
釉:小唯能高興真的是太好了，呵呵~
澪:拜託!那個明明是盜用不是錄用，你們怎麼還這麼高興?
律、唯、釉:啊?什麼?                                         輕音部
澪:絕望啦!我對盜用錄用分不清楚的輕音部社員們絕望啦!           邁向武道館之路

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◆ From: 140.113.178.13
推 math1209    :(2) (1,1) 落在 cl(S) 但不在 S 裡.
→ k6416337    :對喔 沒有注意到
→ math1209    :不僅這個點而已, 還有一堆 = = (在 x = 1, 這上頭..
→ math1209    :含有很多 limit point of S. 畫圖比較好理解...
→ math1209    :因此, 要是沒畫錯. 應該是 cl(S) = S ∪ T, 其中 T =
→ math1209    :{(1/n, 1): n = 1,2,3,..} ∪ {(0,1)}.
推 math1209    :我寫的不對, 還有很多我也少考慮了...