Re: [高微]實數的完備性的證明的問題

[kuromu (kuromu)]

※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: 標題: [高微]實數的完備性的證明的問題
: 時間: Fri Oct  1 19:20:18 2010
:
: 一個分劃集R有一個子集A   其中A滿足
: (1) A≠ψ 且 A≠R
: (2) 若 β 屬於 A  且 α<β   則 α 屬於 A
: (3) 若 β 屬於 A  則會存在 γ > β 且 γ 屬於 A
:
: 考慮一個分劃δ
:
: δ={ p∈Q | 可找到一個 β∈A 使得 p ∈β } ←這裡有點不確定
:                                              δ會是所有β∈A 這種有理數子集
:                                              的聯集嗎?
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: 可以證明出 δ≧任何屬於A的β
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: 這裡想請問的是
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: 如果A是有最大元素的集合 δ就是那個最大元素
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: 這和δ會是所有β的聯集好像沒有矛盾
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: 但是A應該可以是沒有最大元素的集合
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: 那麼就會是δ＞β
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: δ中就會有一個 p∈Q 不屬於β
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: 可是這樣就和δ是所有β的聯集好像有矛盾?
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: 想尋求一下解答
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: 感謝
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: ◆ From: 218.173.163.211
: ※ 編輯: kuromu          來自: 218.173.163.211      (10/01 19:24)
: → sato186     :Dedekind's Cut                                     10/01 19:44
: → kuromu      :不好意思 我還是聽不太懂 可以詳細一點嗎 感謝        10/01 20:41
: → RLin        :他說的是你提的問題就是「Dedekind's Cut」           10/01 21:46
: → arthur104   :好像原本是要寫 x∈(-無限大,x)聯集Q ，但不能寫x     10/01 21:52
: → arthur104   :所以就用這三件事情去定義它吧(我沒有很懂= =)        10/01 21:52
: → kuromu      :我知道這是Dedekind's Cut 但是就是有地方不太懂...   10/01 22:00
: → kuromu      :有看過證的過程 但是中間這個地方覺得怪怪的...       10/01 22:02
: → kuromu      :對δ的定義沒什麼感覺 如果δ大於A中所有元素         10/01 22:05
: → kuromu      :那麼δ中存在一個p∈Q不在A任何元素中  但是根據      10/01 22:06
: → kuromu      :δ的定義 p屬於δ 就可以在A找到一個元素包含p        10/01 22:07
: → k6416337    :p ∈β?什麼叫做屬於一個元素?                       10/01 22:56
: → k6416337    :根據你的定義，δ是集合，怎麼比大小?                10/01 22:56
: → k6416337    :數學傳播第33卷第二期有實數系建構的文章，也許你可   10/01 22:58
: → k6416337    :以去看看                                           10/01 22:58
: → kuromu      :可能我的用詞不太適當 就是一個分劃被定義作          10/01 23:39
: → kuromu      :一個滿足特定條件的有理數的子集                     10/01 23:40
: → kuromu      :分劃的全體可以當作一個新的集合(分劃集)             10/01 23:40
: → kuromu      :A中的元素我指的是分劃                              10/01 23:41
: → kuromu      :分劃比大小的方式就是 如果α和β是兩分劃            10/01 23:43
: → kuromu      :如果α中有一個有理數p不在β中 就說α>β            10/01 23:44
: → kuromu      :比大小的方式被這樣定義                             10/01 23:45
: 推 ppia        :怎麼從"δ≧"變成"δ>"了? 照定義就只有"δ≧"啊?     10/02 01:20
: → ppia        :你δ後面的註解有點怪, 是指                         10/02 01:22
: → ppia        :「所有p∈β∈A這樣的有理數p所成的集合」嗎?         10/02 01:23
: → ppia        :不過這句話exactly就是定義啊....                    10/02 01:24
: → ppia        :抱歉我耍笨了. 我看懂你的意思了. 不過沒有矛盾吧     10/02 01:27
: → ppia        :對於每個β,δ裡面有個p不在β裡面, 不過這個p可以在  10/02 01:28
: → ppia        :另一個β'裡面, δ的確是你講的那樣, 沒有矛盾吧      10/02 01:29

謝謝回答

我好像是有地方搞錯了

不知道以下這樣說有沒有錯



若A是沒有最大元素(分劃)的集合

且δ大於A裡面任意的α



對於A中任何分劃α 存在一個p∈Q 使得 p∈δ 但 p不屬於α

根據δ的定義  可以找到一個 β∈A 使得 p∈β

對於這個β  同樣地  存在一個r∈Q 使得 r∈δ 但 r不屬於β

根據δ的定義  可以找到一個 γ∈A 使得 r∈γ

以此類推



我錯誤的地方在於

把δ大於任何A中的分劃    誤以為有某個有理數不在A的任何分劃中

這個認知好像是不自覺假設了A中有最大元素

δ大於這個最大元素 所以存在一個有理數 p ∈δ 但 p不屬於這個最大元素

因此p也不會屬於任何比最大元素小的分劃中


不知道這樣想是不是對的

謝謝

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◆ From: 218.173.165.121
推 ppia        :老實說我看不太懂 我會這樣說:
→ ppia        :Let A ={β} be a collection of some given cuts β
→ ppia        :Suppose there exists α>β, for all β in A.
→ ppia        :then δ:= union of all β is again a cut.
→ ppia        :then δ≧β for all β in A.
→ ppia        :But it doesn't follow that there exists β_0 in A
→ ppia        :s.t. β_0>β for all β!=β_0 in A.
→ ppia        :Whether this is true or not depend on what A is.
→ ppia        :*depend"s"...英文不太好orz
→ kuromu      :感謝