Re: [高微] 問一題題目...

[herstein (天佑台灣)]

※ 引述《Kobe4mvp (科比)》之銘言：
: 1. If A 包含於R￣m → R￣n is a constant fucntion,
:    show that Df(x)=0 for all x in A.
: 請高手幫忙一下囉～～～
: 感激不盡！！

如果我們定義 A= {(x,y):x=0}。定義函數f(x,y) = x。
也就是說f:R^2->R的函數。考慮f:A-> R。那麼f(x,y) = 0 on A。
也就是說呢f在A上面是常數函數。且f在A上是可微分函數，其微分
為Df(x,y) = (1,0)不為零。

所以這個命題本身A的條件是很重要。如果A是開集合，
可以利用math1209的方法利用微分的定義去做。
如果A不是開集合，這個命題是不對的。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
推 hanabiz     :這邊的符號Df(x,y)是指全微分？
推 math1209    :老大, 你想太多了 =.=
推 ntust661    :XD
推 plover      :傷當複雜
→ herstein    :不是我想太多，條件非常重要....
推 math1209    :坦白說, 我會覺得你想太多了...
→ math1209    :你的意思就很像:當我們談論一個常數函數是否可微一樣
→ math1209    :我也可以說: 因為 sinx 在 A = [nπ: n in |N } 為常
→ math1209    :0.
→ math1209    :這當然不會導致其導函數為 0. 共識真的很重要...
→ math1209    :但這樣區分, 真的沒有多大的意義.
→ herstein    :其實在Marsden有舉了一些例子A是開集合真的很重要
→ herstein    :如果A不是開集合，函數的微分甚至都不一定是唯一的
→ herstein    :再討論函數的可微分性，開集合是非常重要的條件
→ herstein    :因為微分是local的行為，所謂的local就是開鄰域
或者說在閉集合上定義微分，跟函數本身是否可以做微分擴張有關係。
所以在論述微分行為的時候，真的要特別小心。如果你有接觸一點微分拓樸，
你就會知道為什麼我會跟初學者強調定義域是開集合的重要性。如果A不是
開集合，這個論述是不對的。
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.219      (04/19 09:35)
推 math1209    :我沒有說開集合 A 不重要. 我是指不需要在這時候
→ math1209    :強調 =.=