Re: [微積] 高微題目

[goodGG (( ￣ c￣)y▂ξ)]

※ 引述《Qaz168 (十一月)》之銘言：
: Suppose Σa_n is conditionally convergent.
: Show that there are rearrangements of Σa_n
: whose partial sums diverge to +∞ or -∞.
: 謝謝~

(又來騙P幣了 ︿(￣︶￣)︿)



精神: 前進四步後退一步.

不彷假設正項和 Σ p_r = +∞ (有可能同時非正項和 Σ q_s = -∞).
                r                                s

    給定 M > 0.

    因為 Σp_r = +∞, 所以給定 M'_1 = |q_1| + 1 > 0, 存在正整數 N_1 使得
     r'
    Σ p_r > |q_1| + 1 whenever r'≧N_1.
    r=1
    所以先把 Σa_n 調成

        p_1 + p_2 + ... + p_{N_1} + q_1 + 待定
       \______________________________/
             這邊 > 1 沒有問題

             ∞
    因為     Σ      p_r = +∞, 所以給定 M'_2 = |q_2| + 1 > 0,
         r = N_1 + 1
                             r'
    存在 N_2 > N_1 使得     Σ      p_r > |q_2| + 1 whenever r' ≧ N_2
                        r = N_1 + 1
    把 Σa_n 調成

        p_1 + p_2 + ... + p_{N_1} + q_1 +

            p_{N_1+1} + ... + p_{N_2} + q_2 + 待定

    以此類推, 把非正項一個一個插進去, 非正項間隔中的正項和

    總是比緊接後面的負項絕對值多 1.

    重複 [M]+1 次, 其 arrangement partial sum > M whenever 夠多項
    (ex: > N_{[M]+1} 那麼多項)


大致是這樣的想法..

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※ 編輯: goodGG          來自: 218.164.79.178       (05/31 18:45)
推 Qaz168      :謝謝:)