→ DennisTang :Oh..po完才發現原來推文中有類似的解法 XD 12/03 22:19
我的想法是這樣 因為是新手 所以請各位前輩看看是否正確 :)
因為compact iff the set is bounded and closed
而[0,1]之中的有理數
其closure = [0,1]之中的有理數 聯集 其accumulation point
而[0,1]之中的有理數的這個set的
accumulation point is [0,1] != [0,1]間的有理數
所以[0,1]不closed 所以not compact
※ 引述《Helilo (哈里路)》之銘言：
: Problem: Let E be the set of all rational numbers belongs to [0,1],
: prove that E is not compact.
: 小弟自行翻譯如下: 給定一個由所有在[0,1]內的有理數構成之集合E，
: 證明E不是compact。
: 一般常見的做法都是找個極限為[0,1]內某無理數的數列
: 因為任意子數列的極限都為該無理數 因此不屬於E =>得證
: 因為小弟用的是Rudin那本課本
: 對於compact的定義為: 對所有 open cover 存在 finite subcover
: 不知可有直接使用此定義的證明方式？
: 有想過利用Heine-Borel Theorm
: If E in R
: E is compact<=>every infinite subset of E has a limit point in E
: 如果要這樣證的話
: 是否只要找個極限為[0,1]內某無理數的數列 令它為E
: 然後說明此數列中的任一元素皆不是一個limit point即可？
: 還請各位不吝指教<(_ _)>
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