Re: [複變] 關於冪級數展開中, 係數比的極限

[hcsoso (索索)]

→ ppia        :沒有惡意. 但是我真的有點懷疑第一種方法可以解的
→ ppia        :出來 因為在那種展開式裡面我們很難用到 g(z_0)!=0
→ ppia        :這件事 然而這件事沒有用上的話這題是做不出來的
推 hcsoso      :其實可以, 我等等寫出那種解法. 當然會用到~
→ hcsoso      :不過, 分析的過程並不簡單, 我想可能沒有你的方法好!
寫一下 simple pole 的解法好了.

令 f(z) = g(z) / (z - z_0), f(z) = Σa_n z^n, g(z) = Σb_n z^n.
我們知道 g(z) 在 Ω 上解析, 且 g(z_0) != 0. (不然 f(z_0) 就存在了.)

將 1 / (z - z_0) 用冪級數在 |z| < |z_0| = 1 展開,
再跟 g(z) 的冪級數展開作 convolution, 與 f(z) 的冪級數展開作比較係數, 得到

        n        -n-1+k       -n-1  n
a_n = -Σ b_k z_0       = -z_0     Σ b_k z_0^k,
      k=0                         k=0

因此 |a_n| -> g(z_0) 當 n 趨近無限大.
根據 g(z_0) != 0, 我們知道 |b_n / a_n| -> 0, 然後再根據
b_n / a_n = a_{n-1} / a_n - z_0 就得到我們的結果了.

--

higher order poles 會更麻煩, 要用到 D^k g(z_0) != 0,
然後有一堆奇奇怪怪的二項式係數, 很可怕不要問...
基本上 (k+1)-pole 最後算出來會是 a_n = -z_0^{-n-1} D_k g(z_0).


※ 編輯: hcsoso          來自: 140.112.30.33        (01/20 14:52)
推 ppia        :ㄟ～ 其實你的寫法跟我第一樣啊, 我的意思是
→ ppia        :如果寫成 b_n = a_n- z_0 a_{n-1} 就是"用a_n表b_n"
→ ppia        :那應該就寫不太出來了
→ hcsoso      :寫成這樣只是為了最後同除 a_n :P
→ hcsoso      :你的 a_n 跟 a_{n-1} 要對調~
→ hcsoso      :所以結果骨子裡是同一個方法 XD