Re: [分析] 非齊次PDE

[csc410643 (木柴先生)]

※ 引述《csc410643 (木柴先生)》之銘言：
: 熱傳導問題:
: δu/δt = a^2(δ^2u/δx^2), 0<x<L
: B.C.
: u(0,t)=φ(t) u(L,t)=ψ(t), t>0
: I.C.
: u(x,0)=f(x), 0<x<L
: 邊界條件不為0的話,也算是非齊次PDE吧?
: 現在想問的是
: 如果邊界條件剛好都是0時
: 可以用特徵函數展開法:  u(x,t) =ΣTn(t)sin(nπx/L)
: 那如果邊界條件不為0,還可以用特徵函數展開法嗎?
: 懇請賜教!!


依剛剛板友所說的,可套用特徵函數展開法

u(x,t) =ΣTn(t)sin(nπx/L)-----------(1)

Tn = (2/L)∫u(x,t)sin(nπx/L)dx------(2)


在學校時助教給的方法是對(2)式積分

經過繁雜的計算並套用邊界條件之後

輾轉求得Tn(t)的一般式


小弟參考喻超凡講義題目的解法(齊次PDE,邊界條件0,使用特徵函數法展開)

把(1)式代回原方程式 δu/δt = a^2(δ^2u/δx^2), 0<x<L

偏微分之後得到ΣTn'(t)sin(nπx/L) = a^2[-(nπ/L)^2][ΣTn(t)sin(nπx/L)]

因為sin(nπx/L)必不為0

所以Tn'(t)+a^2[(nπ/L)^2]Tn(t) = 0

解Tn(t)得 Tn(t) = Ce^(-[(naπ/L)^2]t)

u(x,t) =ΣCn　e^(-[(naπ/L)^2]t)sin(nπx/L)

又,由起始條件 u(x,0)=f(x), 0<x<L

可知 u(x,0) = ΣCn sin(nπx/L) = f(x)

由傅立葉展開式可知 Cn =(2/L)∫f(x)sin(nπx/L)dx


這樣子就避開了邊界條件 u(0,t)=φ(t) u(L,t)=ψ(t) 的計算

解題也快得多

可是這個算法邏輯上OK嗎？




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◆ From: 111.252.167.73
推 ntust661    :不對吧0.0
→ ntust661    :一定要齊性邊界才能套特徵函數展開
→ ntust661    :況且
→ ntust661    :u(x,t) =ΣCn　e^(-[(naπ/L)^2]t)sin(nπx/L)
→ ntust661    :你的 t 呢= =
推 ntust661    :噢抱歉，我少看到 t
→ ntust661    :應該說 u(0,t) = 0 ? u(L,t) = 0
→ ntust661    :怎麼會這樣，你的 u 一定少了東西
→ ntust661    :所以你要利用參數變換 u(x,t) = w(x,t) + v(t)
→ ntust661    :所以你要利用參數變換 u(x,t) = w(x,t) + v(x,t)漏打
→ ntust661    :改變邊界 u(0,t) = v(0,t)
→ ntust661    :改變邊界 u(L,t) = v(L,t)
→ ntust661    :則會發現 w(0,t) = w(L,t) = 0
→ ntust661    :然後把 v(x,t) 湊成x的一次式
→ ntust661    :就可以解出 v(x,t) = (ψ(t)-φ(t))x/L + φ(t)
→ ntust661    :w 就是你用特徵函數展開得來的Fourier Series
懂了!!感謝^^
※ 編輯: csc410643       來自: 111.252.167.73       (01/23 16:49)