Re: [代數] 用order來判斷group的性質

[yusd24 (阿鄉)]

※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: 最近在複習代數時做題目的時候，發現這類型的題目
: 覺得能用order來判斷群很有趣於是就多找了一些題目
: 在還沒讀到有關Sylow定理前有些這類型的題目，能用其他的性質就判斷出來
: 可是像order大一點的就不會了，所以想來這請教幾題
: 1.If o(G)=15 prove G is cyclic group(這題如果不用sylow定理怎麼做?)
: 2.o(G)=pq where p,q be prime and p<q,prove if p不能整除(q-1) then G
:   is cyclic group(這如果是對的就能證明上面那題，不過不知怎麼證這題)

Let H be the q-Sylow of G and K be the p-Sylow.
Note that H and K are normal subgroups of G.

By counting element, |G|=|HK| and H交集K = {e}.

So G = H x| K, the semidirect product.

Now determine the homomorphism K → Aut(H)
Since p does NOT divide q-1, this homomorphism must be identity.
And this implies the semidirect product is in fact a direct product.
Therefore, G is cyclic. (H, K are cyclic with orders p,q and (p,q)=1)

: 3.o(G)=257，prove G is cyclic group(這題應該要找p-sylow subgroup嗎?
:   這是找到了要怎麼證它是循環群呢?)
: 先感謝指點迷津的大大

257 是質數...

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 219.71.210.134
→ yusd24      :其實你可以在第三行之後直接證明 G = H x K
→ yusd24      :(如果不喜歡用 Semidirect product 的話..)
→ wyob        :先感謝樓上我想一下，有p-sylow以外的方法媽
→ wyob        :因為這提出現在比較前面的章節，先感謝剛剛寄信給我
→ wyob        :的大大
→ VFresh      :考慮action 應該可以做出來 總之還是要找normal子群
→ yusd24      :action 就幾乎是再證明一次簡易版的 Sylow
→ VFresh      :我是想考慮作用在cosets上面的那個action
→ VFresh      :但是全部打出來很複雜XDDDD