Re: [代數] 跟 Subgroup 子群有關的問題

[sm008150204 (風切羽狂)]

※ 引述《superconan (超級柯南)》之銘言：
: 1. 設 H 為 群G 的子群，
:    證明：For all a, b 屬於 G ,  Ha = Hb  或  Ha∩Hb = 空集合  中必恰有一成立。
: 2. 設 H 是 群 ( G,。 ) 的有限集合，且 H 在 "。" 運算之下滿足封閉性，
:    證明：H 為 G 的子群。
: 第一題不知道該怎麼證，麻煩高手解說！
: 第二題我在想，是不是只要證 For all a屬於H ， a^(-1) 也屬於 H 即可？！
: 先謝謝可以為我解惑的高手！！！

希望沒錯

1.
  (1) if a ＝ b , it is clearly that  Ha = Hb

  (2) if a ≠ b

     (a) a,b belong H : Ha = H = Hb

     (b) a belong H , b belong G\H : claim Ha∩Hb = 空集合

         assume not. let x belong Ha∩Hb

         then x belong Ha(=H)  and  x belong Hb

         exist h1 belong H s.t. h1  = x  and

               h2 belong H s.t. (h2)b = x

        then we have h1 = x = (h2)b

        since H is subgroup , b = (h2)^(-1)  (h1) ,which belong H →←

　　　　Thus Ha∩Hb = 空集合

    (c) a,b belong G\H : claim Ha∩Hb = 空集合

         assume not. let x belong Ha∩Hb

         then x belong Ha and  x belong Hb

         exist h1 belong H s.t. (h1)a = x  and

               h2 belong H s.t. (h2)b = x

        then we have h1(a) = x = (h2)b

        since  G is subgroup , h1 = (h2) b a^(-1)

        which means b a^(-1) belong H  ,  b,a belong H →←

　　　　Thus Ha∩Hb = 空集合




2.
  Let a belong H , since H is closedness

  a^2 belong H , a^3 belong H , ... , a^n belong H , ...

  but H is finite , then exist m > 0  s.t. a^m = e

  thus H = ＜a＞  ←　cyclic group is subgroup of G

  H is a subgroup of G

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我可以為兄弟兩肋插刀，
　　　　　　但我可以為女人插兄弟兩刀。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.90.84
※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.90.84        (01/26 11:14)
推 superconan  :謝謝你～我來消化一下
→ superconan  :想請問第一題a≠b的討論，怎麼會想到去看a,b有沒有在
→ superconan  :H裡面。
→ superconan  :第二題用到a^m = e，可是應該還不確定e有沒有在H吧？
→ sm008150204 :a^m=e 是因為H=<a> finite 去翻翻cyclic group那邊吧