[代數] 習題幾問

[jacky7987 (憶)]

大致上是ring的問題

1. Let R be a (integral) domain and F=Frac(R),the fraction(quotient) field of
   R.Prove that Frac(R[x]) is isomorphic to F(x)=Frac(F[x])

原本我就知道
f:R ---->   F
  r |---> [r,1] 是個homo

所以就想說

g:Frac(R[x])->  F(x)
                ~    ~       ~
  f(x)/g(x) |-> f(x)/g(x)    f(x)是把f(x)的係數都變成 [a_i,1]
證明他是isom.這樣對嗎?還是有別的作法?

2.K is a field and K[[x]] denote the set of all power series.Let f in K[[x]]
    inf
  f=sum(a_i)x^i and ord(f)=m
    i=0
,where m is the smallest natural number for which a_m is not zero.

If f is a unit iff ord(f)=0 i.e. the constant is not 0.

=>這個方向的我會證明了(用到ord(fg)=ord(f)+ord(g))
<=我沒有甚麼頭緒
似乎是要證明1/f可以寫成power series不過我不知道要怎麼證明

3. If p is a prime and m,n in |N,prove
  pm      m
(    )≡(   ) mod p
  pn      n


先謝謝大家ˊˋ

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◆ From: 123.193.93.138
→ Vulpix      :1想法正確 2用長除法把1/f真的寫出來
推 CNSaya      :第2題可以用<X>是唯一的maximal ideal來看
→ jacky7987   :樓上的方法跟名詞我們似乎還沒教到，不過感謝
→ jacky7987   :謝謝一樓
→ Vulpix      :3用(1+x)^pm≡(1+x^p)^m然後比較係數好像不錯
→ Vulpix      :原來有人發文了
→ jacky7987   :謝謝你:)