推 jimmy780331 :感謝學長！很詳細 02/10 20:10
※ 引述《jimmy780331 (lucky曉筑)》之銘言：
: 不好意思 想請問一下一些集合的結構
: 1. Z_9 x Z_6
: 2. Z_9 x Z_6 / <(3,3)>
: ( <(3,3)> be the cyclic subgroup of Z_9 x Z_6 generated by (3,3) )
<(3,3)>={(3,3) (6,0) (0,3) (3,0) (6,3) (0,0)}
Z_9 x Z_6 有54個元素
=> Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 有 54/6 = 9 個元素
又 Z_9 x Z_6 任何元素加3次 都落入 <(3,3)> 內
因此 Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 中 元素的order 不是3就是1
=> Z_9 x Z_6 / <(3,3)> isomorphic to Z_3 x Z_3
: 以及下面這題
: Consider the ringof Gassian integers Z[i]
: (a) For a non-zero principal ideal J=<a+bi> in Z[i]
: prove that Z[i]/J is a finite ring
: (Hint: Z[i] is a Euclidean domain with norm v(x+yi)=x^2+y^2)
let S={ x+yi | x,y in Z and x^2+y^2 < a^2 + b^2 }
明顯的 S是個有限集合
用Euclidean domain 的性質
for every c+di in Z[i]
there exist m+ni and e+fi such that
c+di= (a+bi)(m+ni) + e+fi v(e+fi) < v(a+bi) = a^2+b^2 or e+fi=0
因此 in the ring Z[i]/J
____ ____
c+di = e+fi 所以 任意一個Z[i] 中的元素
____ ____
都可以在 S 中找到一個數e+fi 使得 c+di=e+fi
所以 Z[i]/J 只有有限個元素
: (b) What's the number of elements in Z[i]/J for J=<1+i>？
: 這題是97年台聯大考題 對於這方面的結構都不是挺了解
: 請多指點 感恩謝謝
S={x+yi |x,y in Z and x^2+y^2 < 2} ={0 , 1 ,-1,i,-i}
_ _ __ _ __
所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 ,-1,i,-i}
_ _ ___ __
但其中 1 = 1 - (1+i) = -i
__ ___ _
且 -1 = -1 + (1+i) = i
_ _ ____ ____ _ _ __
且 1 = 1 - (1+i)(1-i) = 1 - 2 = -1
_ _
所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 } 只有兩個元素
_ _
PS: 因為 1+i 不是unit in Z[i] 所以 1不在 <1+i> 內 所以 1 不等於 0
--
雜魚:哈哈哈~~我ㄧ直在觀察 你才剛進來遊戲~~真實之劍我要定了
使用"扒手"攻擊ntnusliver!
.......好人卡ㄧ張獲得......
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.168.40.104
※ 編輯: ntnusliver 來自: 218.168.40.104 (02/10 19:46)