Fw: 關於 e

[Dirichlet (微風輕吹)]

※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]

作者: [e-mail] ("Weak and only weak")
標題: 關於 e
時間: Sat Jul 19 21:41:36 2014

作者: pretend (Big Lion) 站內: pretend
標題: 關於 e
時間: Mon Nov 29 22:56:51 2004


【關於 e 的一些證明】

試證數列 {(1 + 1/n)^n} 收斂。

pf :

先證此數列遞增，因為 n 是自然數，考慮算幾不等式 :

(1+1/n)+(1+1/n)+...+(1+1/n)+1
-------------------------------- ≧ (1+1/n)^[n/(n+1)]
             n+1

     n+2
==> ----- ≧ (1+1/n)^[n/(n+1)] ==> [1+(1/n+1)]^(n+1) ≧ (1+1/n)^n
     n+1
                                 n
再證此數列有上界，(1 + 1/n)^n = Σ C_[n,k](1/n)^k
                                k=0

= 1 + n(1/n) + [n(n-1)/2!](1/n)^2 + ... + [n(n-1)×...×/n!](1/n)^n

= 1 + 1 + (1-1/n)/2! + ... + (1-1/n)×...×[1-(n-1)/n]/n!

≦ 2 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n + ... = 3  ，對於任意自然數 n 成立。

故 {(1 + 1/n)^n} 收斂，定義此收斂值為 e .

當 n = x 屬於實數，對於任意 x 可推得存在某個 N 使得 N-1 ≦ x ≦N ，由夾擠定理

可知 {(1 + 1/x)^x} --> e  當 x --> ±∞ .

------------------------------------------------------------------------------

【對 e 的估計】
            n                           ∞
定義 x_n = Σ1/k! ，所以 0 < e - x_n =  Σ1/k! = 1/(n+1)![1 + 1/(n+2) + ...]
           k=1                         k=n+1

< 1/(n+1)![1 + 1/(n+2) + 1/(n+2)^2 + ...] = [1/(n+1)!](n+2)/(n+1)

< 1/(n!)n (因為 (n+2)/(n+1)^2 < 1/n) .
             n
故 e 可寫成 Σ1/k! + ζ/(n!)n ，0<ζ<1 .
            k=1


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→ pretend 修改本文於 Mon Nov 29 22:58:25 2004
→ pretend 修改本文於 Mon Nov 29 23:01:37 2004


※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.113.174), 07/19/2014 21:42:34