Fw: Σ1/n^2 = (π^2)/6

[Dirichlet (微風輕吹)]

※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]

作者: [e-mail] ("Weak and only weak")
標題: Re: Σ1/n^2 = (π^2)/6
時間: Wed Jul 23 07:12:39 2014

作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: Re: Σ1/n^2 = (π^2)/6
時間: Sun Dec 26 11:35:46 2004


 n    2  kπ
Σ cot (----) = n(2n-1)/3
k=1     2n+1

pf :
                                 2n+1
De Moivre Thm. => (cosθ + isinθ)  =  cos(2n+1)θ + isin(2n+1)θ (*)

θ = ±kπ/(2n+1) ， k=1,2,...,n => (*) 式 = ±1

二項式定理展開 (cosθ+isinθ)^2n+1 ， 與前式取虛部比較得

 n    k-1 2n+1    2k-1    2n-2k+2                       2n+1
Σ (-1)  C  (sinθ) (cosθ)       = 0 ， 兩邊除以 (sinθ) , (sinθ≠0)
k=1       2k-1

 n    k-1 2n+1   2n-2k+2
Σ (-1)  C   (cotθ)     = 0 ， 左邊為一 cotθ 得 2n 次多項式
k=1       2k-1

±cot(kπ/(2n+1)) ， k=1,2,...,n 是它的所有根 (前面的推論設定)

根與係數關係 =>

 n    2  kπ     2n+1    2n+1
Σ cot (----) = C    /  C    = n(2n-1)/3
k=1     2n+1     3       1




--
===== ╱     ◢  === ╱     ◢  === ╱     ◢      ===========================
=== ╱     ╱ ▌== ╱     ╱ ▌== ╱     ╱ ▌   ===  中山lalala小站  ======
= ◢▄▄ ╱ —▌ ◢▄▄ ╱ —▌ ◢▄▄ ╱ —▌‧twbbs‧org  ==============
＜ From :  220-142-49-164.dynamic.hinet.net ＞


※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:26:36