※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]
作者: pretend.bbs@lalala.twbbs.org ("Weak and only weak")
標題: [轉錄]高微架構
時間: Wed Jul 23 07:12:00 2014
作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: [轉錄]高微架構
時間: Thu Dec 16 18:26:12 2004
※ 本文轉錄自 [pretend] 信箱
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看到字母兄不厭其煩的把清大高微考題弄上來
才想到要轉到這邊，以饗板友。
因為我之前學高微，一直在背證明，吃了不少苦頭
直到12月才大致把前面的脈絡弄通
因而做了整理。
本篇可隨意轉錄、引用，因為這種知識是公共財。
如有錯漏，還望板友指點，謝謝^^
課本：Jerrold E. Marsden & Michael J. Hoffman, Elementary Classical Analysis,
2nd edition(1993) 9th printing(2003), New York
跟清大一樣
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微積分學的嚴謹架構 (至微積分學基本定理)
一切均源於實數的定義─Complete Ordered Field
以及有關邏輯、集合、加減乘除的公設（視為trivial）
1.路徑一：實數的性質(數) 2.路徑二：Metric Space Topology(形)
Completeness of R 定義open, closed → （定義interior）
↓ ↓ boundary
Cauchy's Criterion in R A closed ←→ A = A ∪ closure
(convergent ←→ Cauchy sequence) accumulation points of A
↓ ｜
定義一般metric space的completeness ｜
n ↓ ↓
R is complete 定義compact
｜ ｜
｜ 數形合流區 ↓
｜ 定義 Bolzano-Weierstrass Theorem
｜ sequentially → (在一般metric space中compact ←→ seq. compact)
｜ compact ｜
｜ ↓
╰──────→ n Hiene-Borel Theorem
(A﹙R is compact ←→ A is closed & bounded)
｜
├──定義connected, path-connected
↓
定義一般metric space ─→ 連續函數值域與定義域的關係
的continuity ︵ △open → ︵ open
值 closed → 定 closed
※compact ← 義 compact
域 ◎connected ← 域 connected
︶ path-conn. ← ︶ path-conn.
｜
Extreme-value Theorem ←──┤※
＆ ｜
Intermediate Value Theorem ←──┤◎
｜ ｜
｜Inverse Function Theorem ←──┤△
｜ ｜
｜ 定義uniform continuity ｜※
｜ ｜ ｜
Mean-Value ｜ ↓
Theorem ｜ Uniform Continuity Theorem
｜ ╰─→ (cont. & domain compact → uni. cont.)
｜ ｜
｜ ｜
｜ Definite Integral Theorem ←╯
｜ (Theorem 4.8.4)
｜ ↓
╰→Fundamental Theorem of Calculus
（亮藍色表示初微未證明的微積分學重要定理）
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
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矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.21.235.14海
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→ pretend 修改本文於 Thu Dec 16 18:27:43 2004
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※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:26:19