Fw: dirichlet 積分

[Dirichlet (微風輕吹)]

※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]

作者: [e-mail] ("Weak and only weak")
標題: dirichlet 積分
時間: Wed Jul 23 07:13:19 2014

作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: dirichlet 積分
時間: Tue Jun  7 14:55:31 2005


 oo
∫sin(x)/x dx 收斂 (底下是 ptt math 版的一篇證明 (我有略作修改))
 0
___________________________________________________________________________

                                         1
因為 sin(x)/x -> 1 as x -> 0，經由定義，∫sin(x)/x dx 存在
                                         0
          oo
故只需證 ∫sin(x)/x dx 存在即可。
          1
             b                                  b
分部積分 => ∫sin(x)/x dx = -cos(b)/b + cos1 - ∫cos(x)/x^2 dx
             1                                  1
注意到 -cos(b)/b -> 0 as b -> oo, 第二項為定值, 第三項絕對收斂。
                             b
(因 |cos(x)/x^2| < 1/x^2 且 ∫1/x^2 dx = (-1/b) + 1 -> 1 as b -> oo )
                             1
所以原式收斂。

note : 第一行說的定義是 sin(x)/x 在 [0,1] 有界所以可以討論黎曼積分,
       而只要擴充 sin(x)/x 在 0 的函數值是 1 則 sin(x)/x 在 [0,1] 上
       連續 => 黎曼積分存在。



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※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:27:08