Fw: Hadamard 不等式

[Dirichlet (微風輕吹)]

※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]

作者: [e-mail] ("Weak and only weak")
標題: Re: Hadamard 不等式
時間: Wed Jul 23 07:13:00 2014

作者: pretend (數學所英文組) 站內: pretend
標題: Re: Hadamard 不等式
時間: Wed Aug 17 16:40:06 2005


補充一個較短的證明 (線代方法)

pf:

為了打字方便, 先證 n=2 的時候即 A = [a_1 a_2]
若 rank(A) < 2 => det(A) = 0 < 1 成立
若 rank(A) = 2 => A 可執行 QR 分解

a_1 = b_1                    1. {b_1,b_2} 是一正交集

      <a_2,b_1>              2. 注意到 |b_1| = |a_1| = 1
a_2 = --------- b_1 + b_2
      <b_1,b_1>                 |b_2|^2 = <b_2,b_2> = <a_2,b_2>

                                ≦ |a_2||b_2| = |b_2|

故 |b_1|=1, |b_2|≦1
                                         <a_2,b_1>
                ( b_1    b_2 ) (|b_1|    --------- )
A = [a_1 a_2] = (-----  -----) (           |b_1|   ) = BC
                (|b_1|  |b_2|) (  0        |b_2|   )

故 det(A)^2 = det[(C^t)(B^t)BC] = det[(C^t)C]
            = (|b_1||b_2|)^2 ≦ 1 成立

類似地當 A 是 n 階方陣時會有 |b_1|=1, |b_i|≦1, 2≦i≦n
且 det(A)^2 = (|b_1||b_2|...|b_n|)^2 ≦ 1 ... Q.E.D.


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※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:27:03