※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]
作者: pretend.bbs@lalala.twbbs.org ("Weak and only weak")
標題: Holder 不等式
時間: Wed Jul 23 07:12:52 2014
作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: Holder 不等式
時間: Sun May 15 18:33:59 2005
Holder 不等式 (Rudin, 趙文敏後面習題, 交大今年高微考題)
(1) a_i , b_i 是任意正數 , 1≦i≦n
(2) p,q > 1 且 1/p + 1/q = 1
則有 : (以下 sigma 上下標皆是 1 到 n)
Σa_ib_i ≦ {[Σ(a_i)^p]^1/p}{[Σ(b_i)^q]^1/q}
___________________________________________________________________________
PF :
Claim : 對任意正數 a,b => ab ≦ (a^p)/p + (b^q)/q
(證明略, 令 ab = k 代入換成單變數即可處理)
a_j b_j
取 A_j = ----------------- , B_j = -----------------
[Σ(a_i)^p]^1/p [Σ(b_i)^q]^1/q
由 Claim => A_jB_j
≦ [(A_j)^p]/p + [(B_j)^q]/q
(a_j)^p (b_j)^q
= ----------- + ------------
pΣ(a_i)^p qΣ(b_i)^q
兩邊對 j 取 sigma => ΣA_jB_j ≦ 1/p + 1/q = 1
移項過去就是欲證的 Holder 不等式
___________________________________________________________________________
NOTE :
當 p = q = 2 就是大名鼎鼎的 Canchy 不等式了 ...
但在這邊 Cauchy 只是 Holder 的 special case !!
當 ln(a^p) = ln(b^q) 是 Claim 等號成立的充要條件 ...
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→ pretend 修改本文於 Sun May 15 18:38:56 2005
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:26:47