※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]
作者: pretend.bbs@lalala.twbbs.org ("Weak and only weak")
標題: Σ1/n^2 = (π^2)/6
時間: Wed Jul 23 07:12:35 2014
作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: Σ1/n^2 = (π^2)/6
時間: Sun Dec 26 11:05:30 2004
來介紹一個很漂亮的無窮級數吧 !
Σ1/n^2 = 1 + (1/2)^2 + ... + (1/n)^2 + ... = (π^2)/6
數學大獅白努力對於這個級數始終未能計算出其值，對此，他寫道：「如果有人能告訴
我這個級數求和的方法，我將十分感激。」
後來，強者尤拉給了一個極其富有幻想的解答，他的手法很旁門左道，但缺乏嚴謹的數
學證明，對此尤拉並不滿意，不過強大數值暴力逼近計算也支持 (π^2)/6 這個答案正
確。
但今天我們求這個級數的和大概有十餘種的手法，下面就以一個高中方法來證明吧 !
pf :
先給一個 Lemma ， 回頭再來證明 :
n 2 kπ
Σ cot (----) = n(2n-1)/3 ... (*)
k=1 2n+1
由 sinθ < θ < tanθ (0 < θ <π/2)，
平方後再倒數 ==> 1 + cot^2(θ) > 1/θ^2 > cot^2(θ)，
θ 以 [kπ/(2n+1)] 代入 (k=1,2,...n) ， 再把 n 個不等式相加由 Lemma 得到
n + n(2n-1)/3 > [(2n+1)/π]^2 *(1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2) > n(2n-1)/3 ，
π^2(n+2n^2) π^2(-n+2n^2)
------------ < Σ1/n^2 < -------------
3(1+2n)^2 3(1+2n)^2
左右兩式 --> (π^2)/6 當 n --> ∞ ， 由夾擠定理知 Σ1/n^2 = (π^2)/6 .
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→ pretend 修改本文於 Sun Dec 26 11:44:51 2004
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※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:26:30