Fw: dirichlet 積分

[Dirichlet (微風輕吹)]

※ [本文轉錄自 Dirichlet 信箱]

作者: [e-mail] ("Weak and only weak")
標題: Re: dirichlet 積分
時間: Wed Jul 23 07:13:24 2014

作者: pretend (Nature Weak) 站內: pretend
標題: Re: dirichlet 積分
時間: Wed Jun  8 17:52:14 2005

※ 引述《pretend (Nature Weak)》之銘言：
>  oo
> ∫|sin(x)/x| dx 發散
>  0
> _____________________________________________________________________________
>           π               oo (n+1)π
> 考慮 I = ∫|sin(x)/x| dx + Σ ∫ |sin(x)/x| dx
>           0                n=1 nπ
> (n+1)π            (n+1)π
> ∫ |sin(x)/x| dx > ∫ |sin(x)/[(n+1)π]| dx
>  nπ                nπ
> = |-cos[(n+1)π] + cos(nπ)|/[(n+1)π] = 2/[(n+1)π]
>    oo     2
> 而 Σ  ------- 發散 => I 發散
>    n=1 (n+1)π

這邊還要作一下驗證證明才完整, 取 b = Nπ + y (0≦y<π)

 b                 N-1 (n+1)π             Nπ + y
∫ |sin(x)/x| dx = Σ  ∫ |sin(x)/x| dx + ∫ |sin(x)/x| dx (*)
 π                n=1  nπ                Nπ
                           Nπ + y
最右式有 |sin(x)/x| < 1/x, ∫1/x dx = ln[1+(y/Nπ)] -> 0 as N -> oo
                           Nπ

(*)式等號兩邊取 N -> oo, 因為 N -> oo 帶動 b -> oo, 所以

       b                           Nπ + y
 lim  ∫ |sin(x)/x| dx = I + lim  ∫ |sin(x)/x| dx
b->oo  0                     N->oo Nπ

上面等號右邊發散, 故原瑕積分式發散

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→ pretend 修改本文於 Wed Jun  8 17:57:27 2005
→ pretend 修改本文於 Thu Jun  9 16:50:10 2005


※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: Dirichlet (111.255.83.4), 07/23/2014 07:27:18