課程名稱︰高等微積分一
課程性質︰必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰96年11月3日
考試時限（分鐘）：180分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
x 1
1. 試以Cauchy ε-δ論述,證明 lim ──────── = ──
x→1 √( x^2 + 3 ) 2
a_(n+1)
2. Fibonacci數列{a_n} = {1,2,3,5,8,13,21,34,...},令x_n = ────
a_n
(a )試證：lim x_n 存在 (b) 求此極限值
n→∞
∞ ∞
3.(a) 試舉一例 Σ a_n 收斂, 但 Σ (a_n)^2 發散
n=1 n=1
∞ ∞
(b) 若 Σ a_n 收斂,問 Σ (a_n)^3 是否亦必收斂?
n=1 n=1
4. C[0,1] = {f|f在[0,1]上連續} 試定C[0,1]的Cardinal number.
5. 試就下列連續函數的基本性質,擇一證明之
(a) 中間值定理： f在[a,b]上連續,f(a)f(b)＜0
則存在 c 屬於 (a,b) 使 f(c) = 0
(b) 最大最小值定理： f在[a,b]上連續,則f在[a,b]上取最大、最小值。
即：存在 x_1,x_2屬於[a,b] 使f(x_1)≦f(x)≦f(x_2) for any x 屬於[a,b]
6.(a) A 包含於 R^n ,既open又closed,試證： A = ψ 或 A = R^n.
(b) (a)之結論在一般 metric space 中是否仍然成立？
7.(a) 在R^n中,試述： Bounded and closed ===> Compact.
(b) (a)之結論在一般 metric space 中是否仍然成立？
8. A、B 包含於 R^n . A + B = { x + y | x 屬於 A, y 屬於 B }
(a) A、B compact,試證 A + B compact
(b) A compact, B closed 試證 A + B closed
(c) 試舉一例, A、B closed,但 A + B 並不 closed
9. E = { x | x = 0.α_1 α_2 α_3 … α_i = 4 或 7 }
問:(a) E 是否 countable
(b) E 是否 dense in [0,1]
(c) E 是否 compact
(d) E 是否 perfect
10. 稱 x 屬於 R 為 algebraic number, 若x滿足某一整係數多項方程式
a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + … + a_(n-1) x + a_n = 0 , 其中x_i為整數,i=0,1,2,…
令 A = { x | x 屬於 R , x 為 algebraic number }
試證：A 為 countable.
(任選八題作答,每題20分)
Good Luck !
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.243.42