課程名稱︰ 高等微積分一
課程性質︰ 系定必修
課程教師︰ 陳金次
開課學院： 理學院
開課系所︰ 數學系
考試日期（年月日）︰ 2007/12/08 (六)
考試時限（分鐘）： 180分鐘
是否需發放獎勵金： YES
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1 1 1 1 1
1. S = { --- + --- | m,n 為自然數 } 1+1 1+--- 1+--- 1+--- ...
m n , 2 , 3 , 4
1 1 1 1 1 1 1
---+1 ---+--- ---+--- ---+--- ..
2 , 2 2 , 2 3 , 2 4
1 1 1 1 1 1 1
---+1 ---+--- ---+--- ---+--- ..
3 , 3 2 , 3 3 , 3 4
(a) 將S列表如右圖 , 令{a_n}為
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1+1, ---+1, 1+---, ---+1, ---+---, 1+---, ---+1, ---+---, ---+---, ...
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3
依序排列的數列 , 試依 lim sup , lim inf 的定義 ,
求 lim sup a_n 及 lim inf a_n
n→∞ n→∞
(b) 令{b_n}為{a_n}的任意重排
試證: lim sup a_n = lim sup b_n , lim inf a_n = lim inf b_n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
2. 試就古典,cesaro,Abel 三種求和的概念 , 判斷下列級數是否可求和 , 如可 ,
試求其和 , 並詳述其理由 .
1 1 1 1
(a) 1 － --- ＋ --- － --- ＋ --- － ...
2 3 4 5
(b) 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 － ...
(c) 1 － 2 ﹢ 3 － 4 ﹢ 5 － ...
3. (a) a_n ↓ , |B_n| = |b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n| < M , for all n
∞
試證 Σ (a_n)*(b_n) 收斂
n=1
∞ sin(nx)
(b) 判斷級數 Σ ----------- 的收斂.發散
n=1 n
4. 判斷下列函數在給定的領域上是否均勻連續.
(a) ╭ (x)*sin(1/x) , x≠0
f(x) = │ , x屬於R
╰ 0 , x＝0
(b) f(x,y) = (xy)^(1/2) , x ≧ 0 , y ≧ 0 .
5. K compact metric space , f 為 K 上的實連續函數. 試證: f 在 K 上均勻連續.
∞ ∞ a_n ∞ a_n
6. (a) a_n > 0 , Σ a_n = ∞ , 試證: Σ ----- = ∞ , Σ --------- < ∞
n=1 n=1 S_n n=1 (S_n)^2
其中 S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n
∞ ∞ ∞
(b) Σ (a_n)*(b_n) 收斂 , 對一切 Σ (b_n)^2 < ∞ , 試證 Σ (a_n)^2 < ∞
n=1 n=1 n=1
7. (a) f 在 [a,b] X [c,d] 上連續 , φ(x) = Max f(x,y).
y
試證: φ在 [a,b] 上連續.
(b) 試證: Max Min f(x,y) ≦ Min Max f(x,y)
y x x y
8. (X,d), metric space, A 包含於 X , 若對一切 A 上的實連續函數 f ,
恆存在常數 M 使得 |f(x)| ≦ M , for all x 屬於 A , 試證: A 為 compact.
f f
9. (a) 在實數系中 , 若 {x_n} 為 Cauchy sequence , 則 lim x_n 存在 , 試証之.
n→∞
-1 -1
(b) X = R (real line) , 定義 d(x,y) = |tan (x) － tan (y)| , x,y屬於R
試證: (X,d) 為 metric space .
(c) 令 x_n = n , 試證: {x_n} 為 (X,d) 上的 Cauchy sequence ,
但 lim x_n 並不存在.
n→∞
10.(a) (X,d) 為一 compact metric space ,
F: family of real valued continuous function defined on X ,
若對任意x , 恆存在 M 使得 |f(x)| < M , for all f 屬於 F ,
x x
試證: 存在 open set O 及常數 M , 使得 |f(x)| < M ,
for all f 屬於 F , x 屬於 O
(b) f 在 [0,∞) 上連續 , 若對任意x , { f(nx) | n=1,2,3,... } 恆有界,
試證: f 在 [0,∞) 上有界.
< 任選八題作答 , 每題20分 >
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