課程名稱︰高等微積分
課程性質︰必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰98/04/11
考試時限（分鐘）：180分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.
(a) f,g在[a,b]上Riemann可積分，則f,g在[a,b]上亦Riemann可積分。
(b) 若將Riemann積分改為瑕積分，(a)之結論仍成立否？
2.
π
f在[0,π]上Riemann可積分，求 lim ∫f(x)|sin(nx)|dx 之值。
n→∞ 0
3.
D=[0,1]×[0,1]，求 Min ∫∫|x^2+y^2-ax-by-c|dxdy之值。
a,b,c D
4.
∞ 1
f(x)= Σ ─────
n=1 1+(n^2)x
(a) 決定x，使f絕對收斂。
(b) 決定區間，使f在其上均勻收斂。
(c) f在其收斂區間上是否連續？有界否？
5.
{(x^α)sin(1/x)，x≠0
f(x)={ ，試定α的範圍，使f在[0,1]上有界變分。
{ 0 ，x=0
6.
判定下列函數在給定的區間上是否均勻收斂
(a) ∞ sin(nx)
Σ ────，在[0,π]上
n=1 n^2
(b) ∞ sin(nx)
Σ ────，在[0,π]上
n=1 n
(c) ∞ sin(nx)
Σ ────，在[δ,π]上，δ>0
n=1 n
7.(Χ,d)為一metric space，K為Χ上compact set。
(a) 令ρ(x)=dist(x,K)= inf d(x,y)，試証ρ為Χ上的連續函數。
y屬於K
(b) 試造出一函數f，在Χ上連續，且K={x|f(x)=sup f}。
Χ
8.
f在[0,∞)上連續，若對任意x，集合A(x)={f(nx)|n=0,1,2,...}恆有界，
試証：f在[0,∞)上有界。
9.
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，O為原點。試設計一網路連接O、A、B、C四點，
使網路總長最小，並證明之。
任選八題作答，每題20分
1~4題寫在A卷上，5~9題寫在B卷上
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