課程名稱︰ 高等微積分一
課程性質︰ 數學系必修
課程教師︰ 陳金次 教授
開課學院： 理學院
開課系所︰ 數學系
考試日期（年月日）︰ 99/01/16
考試時限（分鐘）： 180分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
第一部份：(以上六題全部作答，每題10分)
1. 試證明 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9.... 收斂，並求其值。(請詳述其理由)
2. 試證：f(x)=1/x在(0,1)上不均勻連續
3. f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續，問： min max f(x,y), max min f(x,y) 孰大？
x y y x
2 2
4. 0<x<1，試比較 sin x , sin x , 及 xsinx 的大小。
3 3 3 3
5. f(x,y,z) = x + y + z - 3xyz，試證明f在 R 上無最大、最小值。
1
6. f在[0,1]上連續，求 lim x∫ f(t)/(t^2) dt
x→0+ x
第二部份：(以上六題任選五題作答，第7題至12(a)為20分，12(b)為30分)
2 2 2
7. 給定 a_i>0, x_i>0, i=1,...,n。試針對 (x_1) + (x_2) +...+ (x_n) = 1，
求 (a_1)/(x_1) + (a_2)/(x_2) + ... + (a_n)/(x_n) 的最小值。
∞
8. a_n>0, Σ a_n = ∞ , S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 。
n=1
∞ ∞
試證明： Σ (a_n)/(S_n)^2 < ∞ , Σ (a_n)/(S_n) = ∞
n=1 n=1
9. f為定義在[a,b]×[c,d]上的實連續函數，定義ψ(x) = max f(x,y)，
y∈[c,d]
試證明ψ在[a,b]上連續。
10. α
{ |xy| sin(1/(x^2+y^2)) (x,y)≠(0,0)
f(x,y) = {
{ 0 (x,y)＝(0,0)
試決定α之值，使f在(0,0)點可微分(differentiable)。
2
11. Ω為convex，f∈C (Ω) (f的所有二次導數均在Ω連續)。
試證明f在Ω上convex ⇔ (f_xx)(f_yy)-(f_xy)^2≧0 on Ω 。
12. 下列二定理，擇一證明之。
(a) (X,d)為compact metric space , (Y,ρ)為metric space。
試證明若f:X→Y為連續函數，則f在X上均勻連續。
∞
(b) 給定 f(z) = Σ (a_n)z^n, z∈C(complex plane), 若 1/R = limsup n√|a_n|>0
n=1 n→∞
則：
(i) f在|z|<R上絕對收斂，在|z|≦ρ＜R上均勻絕對收斂
(ii) f在|z|<R上發散。
∞ n-1
(iii) f'(z) = Σ n(a_n)z ∀|z|<R
n=1
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