課程名稱︰高等微積分一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2013.10.26
考試時限（分鐘）：170分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
注意事項：作答時將答案卷分成四份，1、2題寫在A卷、3、4題寫在B卷、5~7題寫在C卷、
8~10題寫在D卷，如發生答案寫在不同答案卷上者，將不予計分。
(例：如將第三題寫在C卷上，則第三題為零分)
1.(12分) 請指出下列證明錯誤的所在
(a)ψ不包含於S，S為給定集合，ψ為空集合。
證：設x∈ψ，則x不屬於S。ψ空無一物，x∈ψ非真，因此，上述命題成立，故ψ不
屬於S。
(b)求：√(2+√(2+√(2+√......)))
證：令 x = √(2+√(2+√(2+√......)))，則 x^2 = 2 + x => (x+1)(x-2) = 0，
而 x > 2 ，故 x = 2。
(c)任一三角形皆等腰。
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證：設ΔABC如圖，作A分角線AP及BC中垂線MP，交於P點。過P點分別作PD垂直AB
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、PE垂直AC，顯然
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(1)ΔAPD 與 ΔAPE 全等 ∴AD = AE
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(2)ΔPDB 與 ΔPEC 全等 ∴BD = CE
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=> AB = AD + BD = AE + EC = AC。
（圖就請各位自行畫了QQ）
2.(12分) ξ > 0 、 η > 0 為實數。於ξ、η所屬的class中分別任取一有理增數列
ξ～Ｘ={x1, x2, x3, ...}、xi > 0 ，η～Ｙ={y1, y2, y3, ...}、yi > 0。
令Ｘ‧Ｙ={x1y1, x2y2, x3y3, ...}。定義ξ‧η為Ｘ‧Ｙ所屬class相應之實數，
試證：此乘法定義是well - defined 。
3.(10分) 試述二維的 Bolzano-Weierstrass定理，並證明之。
4.(10分) 試證：一切代數數可數。
5.(10分) 令an = √(2√(3√(4√......√n)))，問lim(n→∞) a_n 存在否？
6.(10分) f為定義於[a,b]上的函數，若對任意數列{x_n}⊂[a,b]，x_i ≠ x_j當i≠j，
Σf(x_n)恆收斂(n=1 to ∞)，試證：集合S={x|x∈[a,b]，f(x)≠0}頂多countable
7.(10分) C[0,1]表一切定義在[0,1]上的連續函數集，試證：#C[0,1] = #[0,1]
8.(12分) 試造一映射寫像(1-1 and onto mapping) 把 (0,1] x (0,1] 映成 (0,1]
9.(12分) f在[a,b]上連續，若任意x∈[a,b]都是f的極小點。試證：f為常函數。
10.(10分) 試用ε - δ論述證明lim(x->1) x / √(x^2 + x + 2) = 1/2。
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