課程名稱︰高等微積分一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2013.11.30
考試時限（分鐘）：170分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
注意事項：作答時將答案卷分成五份，1-2題寫在A卷、3-4題寫在B卷、5-6題寫在C卷、
7-8題寫在D卷，9-10題寫在E卷，如發生答案寫在不同答案卷上者，將不予計分。
五份答案卷的系級、學號、姓名皆須標示清楚，每少一個扣五分。
1.(10分) "lim(x→a)f(x) = l <=> lim(n→∞)f(xn) = l, ∀xn → a , xn≠a"
試證之。
2.(10分) p(z) = z^n + a_(n-1)*z^(n-1) + … + a_0 為一複係數多項式，若p(z)≠0
∀z 。 試證：1/|p(z)| 有界。
3.(10分) f : [0,1] → [0,1] 為對射連續函數(1-1 , onto and continuous)，
f(0) = 0，f(1) = 1，問下列敘述正確否？
(a) f在[0,1]上嚴格遞增。
(b) f^(-1)亦為連續。
4.(10分) f(x) = { sin(1/x) , 0 ＜ x ≦ 1
{ 0 , x ＝ 0
問：f在[0,1]上是否Riemann可積分？
5.(10分) (a) A⊂R 既open又closed，試證：A = ψ或A = R。
(b) A⊂R^2既open又closed，試證：A = ψ或A = R^2
6.(10分) 在R中，令d(x,y) = { 1 , 當 x ≠ y , 問：f在[0,1]上是否Riemann可積分？
{ 0 , 當 x ＝ y
7.(10分) A⊂R^n , B⊂R^m 皆為compact , 試證：A ×B 為R^(n+m)的compact set。
8.(14分) (X,d)為compact metic space，試證：
(a)X有countable dense subset
(b)X為complete
9.(10分) l^2 = {x|x = (x1,x2,x3,...), xn∈R，Σxn^2 < ∞}。
定義∥x∥_2 = (Σxn^2)^(1/2)。令B = {x| x∈l^2, ∥x∥_2 < 1}
問：B是否為compact？
10.(14分) A⊂R^n , A為有界閉集(bounded and closed)，試證：A為compact。
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※ 編輯: benny9072004 來自: 49.158.96.14 (11/30 21:22)
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