課程名稱︰高等微積分一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014.1.7
考試時限（分鐘）：170分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
注意事項：作答時將答案卷分成五份，1-2題寫在A卷、3-4題寫在B卷、5-6題寫在C卷、
7-8題寫在D卷，9-10題寫在E卷，如發生答案寫在不同答案卷上者，將不予計分。
五份答案卷的系級、學號、姓名皆須標示清楚，每少一個扣五分。
1. (10分) f：R → R 為continuous open mapping，試證：f 為 monotone。
2. (12分) f 為定義於 [0 ,∞] 上的實連續函數，若∀x 屬於 [0 ,∞]，
集合 A(x) = {f(nx)｜n = 1, 2, 3, ...} 有界，試證 f 有界。
3. (10分) 試造一集合B屬於R，B為第二類集(2nd category)，但其Lebesgue測度為0。
4. (10分) f(x, y) = √(xy) , x ≧ 0 , y ≧ 0 ，問：f 是否均勻連續。
5. (12分) f 為定義在 [a, b] ×[c, d]上的實連續函數，定義 ψ(x) = max f(x, y)
c≦y≦d
試證明：ψ(x)在[a, b]上連續。
6. (10分) k(x, y)為定義在 [0, 1] ×[0, 1]上的連續函數，｜k(x, y)｜< 1，對於
∀(x, y)屬於[0, 1] ×[0, 1]。給定ψ(x)屬於 C[0, 1]，試證存在唯一函數f屬於
1
C[0, 1]滿足積分方程 f(x) = ψ(x) + ∫k(x, y)f(y)dy.
0
7. (10分)
(a) 求 f(x) = (1 + x + x^2)^(-1) 的 Maclaurin 級數。
(b) 求級數1 - (1/2) + (1/4) - (1/5) + (1/7) - (1/8) ...之值，詳述其理由。
∞
8. (12分) 根據 Dirichlet test，級數Σ (sin(nθ))/n 收斂，-π≦θ≦π，試求其值
n=1
9. (10分) f在[0, 1]上可導，f(0) = f(1) = 0，f(x)≧0 ∀x屬於[0, 1]，若
1
∫f(x)dx = 1 ，試證：存在c屬於(0, 1)使｜f'(c)｜≧4。
0
10.(12分) (a) 試述冪級數基本定理。
∞ ∞
(b) f(z) = Σ a_n*z^n, |z|≦R，試證：f'(z) = Σ na_n*z^(n-1)。
n=0 n=0
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