[試題] 100上 王藹農 複變數函數論 期末考

[t0444564 (艾利歐)]

課程名稱︰複變數函數論
課程性質︰數學系大三必修
課程教師︰王藹農
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2012年01月10日(二)，13:20-15:10
考試時限：110分鐘
是否需發放獎勵金：是

試題 :
　　　　　　　Complex Analysis Final　　　　　　　　　　Jan. 10 2012

1. Can you find a non-constnat harmonic function u(x,y)≧0 defined on the whole
　 xy-plane? If yes, u(x,y)=?　Can you find a non-constant subharmonic function
　 v(x,y)≧0,　△v(x,y)≧0 defined on the whole xy-plane? If yes, v(x,y)=?
　 (10/50)

2. Ω={z| 0<|z|<1}. Can you solve the Dirichlet problem and find a harmonic
　 function u in Ω with boundary value f(θ)≡0 when |z|->1, and u->1 when
　 |z|->0 ? If yes, express u interms of polar coordinate u=u(r,θ)=?
　 A={z| 1/2<|z|<1 }. Can you solve the Firichlet problem and find a harmonic
　 function U in A with boundary value f(θ)≡0 when |z|->1, and u->1 when
　 |z|->1/2 ? If yes, express U in terms of polar corrdinate U=U(r,θ)=?
　 (10/50)

3. Let w=w(z) be a doubly periodic elliptic function w(z) = w(z+K) = w(z+iK)
　 satisfying the differential equation w'(z) = dw/dz = √[(1-w^2)(1-k^2w^2)].
　　k = ?　(10/50)
　　　　　　　　　　　　　∞
4. For Re(z) > 1, ζ(z) = Σ(1/n^z). As z->1, ζ(z)->∞. Is z=1 an isolated
　　　　　　　　　　　　　1
　 singularity? If not, determine its domain as a Riemann surface with
　 branch points. If yes, residue (ζ,z=1)=?

　　　　　　∞　　 n
5. tan z = Σ(a_n)z　　　　a_7 = ? (10/50)
　　　　　　0

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