課程名稱︰微積分甲上
課程性質︰數學系必修
課程教師︰李白飛
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2010年01月14日
考試時限：150分鐘
是否需發放獎勵金：是
試題 :
注意:請將計算所得答案整理化簡
ln x ln 2
1.試證方程式─── = ───有2正根且僅有2正根。
x 2
1
2.試證若x≠0，則arctan(√2 x+1)-arctan(√2 x-1)=arctan(── )。
x^2
3.試求下列各極限之值：
tan(πx/2)
(a)lim (2-x)^
x→1
1 1
(b)lim ─────────── - ──────
x→0 √[ln( x + √(1+x^2)] √ln(1+x)
1 1
4.(a)設m與n為正整數，試證∫ x^m (1-x)^n dx=∫ x^n (1-x)^m dx。
0 0
1
(b)試求∫ x^2 (1-x)^8 dx之值。
0
1
5.設n為正整數，試求∫(1-x^2)^n dx之值。
0
1 1 1
6.試求極限lim (─────── + ─────── +...+ ────────)之值。
n→∞ √[n^2 + 1^2] √[n^2 + 2^2] √[n^2 + n^2]
7.考慮一頂角為2α，夾邊為a之扇形，其中a>0，0<a<π。
(a)試求其形心與頂點之距離，並求當α→0時此距離之極限。
(b)若將此扇形繞其頂角平分線旋轉，試求所得立體之體積。
8.試求曲線x=ln(1+t^2)，y=2arctan t，0≦t≦1，之弧長。
9.試求蚶線r=1+2cosθ內外圈之間的面積。
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