課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰數學系必修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2009年06月16日，13:20-15:10
考試時限：110分鐘
是否需發放獎勵金：是
試題 :
【注意】不是open-book的考試!4☆與4★先作後者，有餘裕再作前者
1. 若 F = yi + 2(x-x^3z)j + xy^3k，而上半球面S : x^2+y^2+z^2 = 25,z > 0.
→
試求∫∫(rotF)·dA
S
2. 若 F = yi + (x+2)j + ((x^3)sin(yz))k ，-而S是柱體 x^2+y^2≦9,0≦z≦4
→
的表面(法向向外) 試求∫∫(rotF)·dA
S
3. 求常數C，使得向量場F = (x+4y)i + (y-3z)j + Czk = rot u.
4☆. 球極座標(r,θ,ψ)中，θ是餘緯度，ψ是經度;e_r,e_θ,e_ψ 是單位向量
沿著座標增加的方向.是計算向量場 F = e_r + re_θ + rcos(ψ)e_ψ的散度
div F 與旋度 rot F
4★. 若 X = xi + yj + zk; r = (x^2+y^2+z^2)^(1/2), A為固定的向量(constant
vector field) 請(使用內積與外積的記號!)計算如下述：
div((r^2)A); rot((r^2)A); grad((A·X)^4); rot(A×X)
5. 以限制條件:x^2 + y^2 + z^2 = 1; x,y,z 皆大於零
求函數f(x,y,z) = (3/x) + (4/y) + (5/z) ；之極小值
6. 對於自然數 n 屬於 N ，求出下微分方程式的解答 y = f_n(t):
〔D^2 + 8D + 16-(1/(n^2))〕y(t) = 0; y(2) = 4; Dy(2) = -2;
再求出 lim f_n(t).
n→∞
PS. 以上全部的 rot 即為 curl.
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