課程名稱︰數理統計
課程性質︰選修
課程教師︰吳貴美 教授
開課系所︰數學系
考試時間︰2005/4/28 7:50-10:00
試題： 數 理 統 計
[12分]
1. Y_1,Y_2,..,Y_6: i.i.d.～ N(0,1)
5 5 5 _
令 X = ΣY_i/5, W = Σ(Y_i)^2, U = Σ(Y_i-Y)^2
i=1 i=1 i=1
問 (a) W 的分布是什麼？
(b) U 的分布是什麼？
_ _
(c) √5‧Y_6/√W 的分布是什麼？
(d) 2(5X^2+(Y_6)^2)/U 的分布是什麼？
[18分]
2.(a) 設 X_1,..,X_n;Y_1,..,Y_n: i.i.d.～ f(μ,σ^2), μ,σ^2 < ∞
_ _
求最小的樣本數 n，使 P(|X-Y|≦0.25σ)≧0.95
(b) 若 (a)中之X_1,..,X_n;Y_1,..,Y_n: indep，且只是來自相同的μ和σ^2
的隨機變數。 (不必是來自同一分佈)
問這時 n至少要多少，才能使 P(|X-Y|≦0.25σ)≧0.95
[20分]
3. 設 Y_1,Y_2,..～ f(y) =┌ (1/(θ+1))‧e^(-y/(θ+1)), y>0
└ 0 , 其他
︿ _
(a) 如何調整θ_1 = Y，使成為θ的 unbiased estimator？
︿
(b) 如何調整θ_2 = (Y_1‧Y_2)^(1/2)，使成為θ的 unbiased estimator？
︿ ︿ ︿ ︿
(c) 假設調整的結果分別為 θ*_1, θ*_2，求 Var(θ*_1) 和 Var(θ*_2)。
︿ ︿
(d) 求 eff(θ*_1, θ*_2)
[12分]
4.有要唸工學院和文學院的高中生的 SAT成績的資料如下：
┌──────┬──────────┬───────────┐
│ │語文能力 (Verbal) │數學能力 (Mathematics)│
├──────┼──────────┼───────────┤
│要唸工學院者│_ │_ │
│ n_1 = 15│Y_ev=446, S_ev=42 │Y_em=548, S_em=57 │
├──────┼──────────┼───────────┤
│要唸文學院者│_ │_ │
│ n_2 = 15│Y_lv=534, S_lv=45 │Y_lm=517, S_lm=52 │
└──────┴──────────┴───────────┘
(a) 求兩組學生語文能力差異的 95%的信賴區間。
(b) 求兩組學生數學能力差異的 95%的信賴區間。
[10分]
5. 224個自 9歲至17歲的兒童中，在1986年 1月28日太空梭失事後不久，仍有 2/3
的孩童仍願意去太空旅行。
(a) 求 9歲至17歲的孩童在當時仍願意去太空旅行的比例的 90%信賴區間。
(b) 根據 (a)的結果，你(妳)認為「大部分」的孩童很想去太空旅行嗎？為什麼？
[10分]
6. Y_1,Y_2,..,Y_n～ f(y) =┌ θy^(θ-1), 0＜y＜1, θ＞0
└ 0 , 其他
_
試證 Y 是 θ/(θ+1)的 consistent estimator。
[28分]
7. Y_1,..,Y_n: i.i.d.～ f(y;θ) =┌ 2θ^2/y^3, θ＜y＜∞
└ 0 , 其他
(a) 試證 Y_(1) 是θ的 sufficient statistic。
(b) 試證 Y_(n) 不是θ的 sufficient statistic。
(c) 求θ的 minimum variance unbiased estimator。
(d) 求θ的 maximum likelihood estimator。
[10分]
8. Y_1,..,Y_n～ f(y;θ) =┌ (θ+1)y^θ, 0＜y＜1
└ 0 , 其他
用 method of moments 求θ的估計子。
簡答：
2
1.(a) χ_5
2
(b) χ_4
(c) t_5
(d) F_2,4
2.(a) n最小123
(b) n最小640
︿ _
3.(a) θ*_1＝Y－1
︿ ________
(b) θ*_2＝(4√Y_1‧Y_2 /π)－1
︿ 2
(c) Var(θ*_1)＝(θ＋1) /n
︿ 2 2
Var(θ*_2)＝((16/π )－1)(θ＋1)
︿ ︿ 2
(d) eff(θ*_1,θ*_2)＝n((16/π )－1)
4.(a) (μ_ev－μ_lv)的 95%信賴區間＝(－120.54, －55.46)
(b) (μ_em－μ_lm)的 95%信賴區間＝(－9.8, 71.80)
5.(a) (0.615, 0.718)
(b) 區間＞0.5, 可說大部分
6.(略)
7.(a)(b) (略)
(c) ((2n－1)/2n)‧Y_(1)
(d) Y_(1)
︿ _ _
8. θ= (1－2Y)/(Y-1)
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