→ hcsoso:3戊的確有問題，若以參變函數表示 則沒有 "= 1" ！ 01/07 22:41
課程名稱︰微積分優
課程性質︰數學系選修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2006年01月07日
試題 :
1.自律系(只要選擇a,b兩者之一)
[a] (Logically speaking!假定沒有學過雙曲餘弦正弦，以及指數函數!)
模仿講義，先用微分方程的解去定義兩個函數cosh,sinh,再類推其他!
注意到：沒有週期性!而'值點(無窮)長壽'：
ξ _____
對於ξ>1,瑕積分∫ dx/√x^2-1 存在,而且
1
ξ _____
lim ∫ dx/√x^2-1 = ∞;
ξ↑∞ 1
η _____
對於η>0,積分 ∫ dy/√y^2+1 存在,而且
0
η _____
lim ∫ dy/√y^2+1 = ∞;
η↑∞ 0
[b] (Logically speaking!假定沒有學過三角函數!)
模仿講義，先用微分方程的解去定義兩個函數sec,tan,再類推其他!
注意到：沒有週期性!而'值點夭壽'：
ξ _____
對於ξ>1,瑕積分∫ dx/x√x^2-1 存在,而且
1
ξ _____
lim ∫ dx/x√x^2-1 = T< ∞;
ξ↑∞ 1
η
對於η>0,積分 ∫ dy/(y^2+1) 存在,而且
0
η
lim ∫ dy/(y^2+1) = T< ∞;
η↑∞ 0
2.縮閉線(試求以下甲乙兩曲線之縮閉線,即曲率中心之軌跡):
[甲]曲線y = f(x) ,若令p = dy/dx, 則有:
dy/dx = p;
_____
dp/dx = √1+p^2 ;
x = 0時 y = 1 , p = 0 ;
[乙]曲線乙參數方程表示
dx/dt = (1-y^2)/y ;
_____
dy/dt = -√1-y^2 ;
t = 0時 x = 0 , y = 1 ;
証明乙的縮閉線為甲。
3.包絡線 [注意]若有做上節的甲乙,就不用作此節!
求曲線族Γ 的包絡線!(任選丙丁戊之一!)
θ
丙. 擺線: x=θ-sin(θ) ,y= 1-cos(θ) ,上之動點,與彼時之圓心(θ,1)之連線Γ
丁. 拋物線
Γ: x(t) = t*cos(θ) ,y(t) = t*sin(θ)-gt^2/2 .
戊. 星形線 x=cos^3(θ) ,y=sin^3(θ)=1 的法線Γ (po者註 題目似乎有問題)
4.階乘
n
求I =∫ log(x) dx. 再等分區間為n-1段,計算梯形法近似積分值J ,並問何者較大?
n 1 n
5.其他
A.簡單說明你的缺課狀況.(若缺考有特別的理由,請註明!)
B.寫下三個分數:Wish,Hope,Expect.
C.寫下對於本課程的感想與(尤其)建議.