課程名稱︰線性代數一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰張海潮
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2003年
考試時限：未知
試題：
A.下列敘述,對:簡述理由;錯:請給出反例
(a)AεMn×n (n階方陣所成之向量空間), 則T(A)=A^2 為Mn×n→Mn×n之線性映射
(b)在Mn×n上定義<A,B>=det(A‧B), 則<,>為一inner product
(c)V,W為 Rn的subspace, 若dimV+dimW=n, 且V∩W = {0向量}, 則任一 xε Rn, 皆可
唯一表成 x + x , 其中 x εV, x εW
v w v w
(d)S={v1,...,vk},vi≠0為 Rn之一orthogonal subset, 則S必linear independent
(e) Rn中有v1,...vk, 若{v1,...,vk}orthonormal, 則v1,...vk展開之高維平行體其體
積=1
(f)若A invertible, 則任一A的eigenvalue必不為0
(24%)
B.求┌1 1 1┐之eigenvalue與相對應之eigenspace
│1 0 0│
└1 0 0┘
(10%)
1
C.在多項式向量空間上定義內積S p(x)q(x)dx, 求x^n投影在sp(1,x)上的vector
0
(10%)
D.方陣A=[v1 v2 ... vn], viε Rn, 若{v1,...,vn}orthogonal, 求A^-1
(10%)
E.將一n階方陣寫成┌A|B┐的形式, 其中A,B,C,D都是size相同的方陣,且A invertible
│-+-│
└C|D┘
(a)利用┌A B┐ ┌A O┐ ┌I X┐解出X與Y(用A,B,C,D表示)
└C D┘=└C I┘‧└O Y┘ (I為單位方陣)
(b)若AC=CA, 證明det(┌A B┐)=det(AD-CB)
└C D┘
(12%)
F.若A,B,U,Vε Rn, 設L1={A+U|tεR}, L2={B+sV|sεR} 為 Rn中兩直線. 定義L1與L2之
距離d(L1,L2)為d(X,Y)的最小值, 其中XεL1, YεL2
(a)若CεL1, DεL2且d(C,D)=d(L1,L2), 證明 (C-D)‧U = (C-D)‧V = 0
(b)若{U,V}orthonormal, 請用A,B,U,V表示d(L1,L2)
(12%)
G.若用X=┌x y┐|→[x,y,z,u]來作M2×2與 R4間的isomorphism, 現取一常係數方陣
└z u┘| T
┌a b┐=A, 考慮線性變換S: R4→ R4 其中 S(X)=XA - A X (用到上面的對應)
└c d┘
(a)請寫出S的矩陣表示(應為一4×4的方陣) T
(b)請就下列三種情形討論kerS={X=┌x y┐|XA-A X=0}
└z u┘
(i)a≠d,b=c=0 (ii)a≠d,b≠0,c=0
F.若A,B,U,Vε Rn, 設L1={A+U|tεR}, L2={B+sV|sεR} 為 Rn中兩直線. 定義L1與L2之
距離d(L1,L2)為d(X,Y)的最小值, 其中XεL1, YεL2
(a)若CεL1, DεL2且d(C,D)=d(L1,L2), 證明 (C-D)‧U = (C-D)‧V = 0
(b)若{U,V}orthonormal, 請用A,B,U,V表示d(L1,L2)
(12%)
G.若用X=┌x y┐|→[x,y,z,u]來作M2×2與 R4間的isomorphism, 現取一常係數方陣
└z u┘| T
┌a b┐=A, 考慮線性變換S: R4→ R4 其中 S(X)=XA - A X (用到上面的對應)
└c d┘
(a)請寫出S的矩陣表示(應為一4×4的方陣) T
(b)請就下列三種情形討論kerS={X=┌x y┐|XA-A X=0}
└z u┘
(i)a≠d,b=c=0 (ii)a≠d,b≠0,c=0
(iii)a=d,b≠0,c=0 T
(c)求證存在X,detX≠0且XA-A X=0
T
(d)請問A和A 是否similar?
(24%)
Total:102%
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