課程名稱︰線性代數一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰張海潮
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2002年
考試時限：未知
試題：
1.是非題(是:請用50字內之中文說明理由;非:請舉反例)
(a)若S={v1,v2,...,vk}為 Rn中的線性獨立(linearly independent)子集. 則任何S的
非空子集皆為線性獨立.
(b)平移是線性映射(linear transformation)
(c)線性映射將基底(basis)送到基底
(d)線性映射將flat送到flat
(e)存在線性映射T: R2-> R3, 使得imT= R3
(f)若┌a b┐ ┌x1┐ ┌0┐ ┌a c e┐ ┌y1┐ ┌0┐
│c d│‧└x2┘=│0│,└b d f┘‧│y2│=└0┘
└e f┘ └0┘ └y3┘
且設兩個解空間維度(dimension)按序各為n,n' ,則n'-n=1
(30%)
2.設V=sp([2,1,5,-1,-1],[1,1,4,-1,0],[3,1,6,-1,-2])
W=sp([1,0,0,1,1],[4,1,2,-2,3],[1,1,1,-4,2])
(a)計算dimV與dimW (b)求V∩W的一組基底
(15%)
3.若已知 R2上某線性映射T滿足 T([1,4])=[2,1] T([2,1])=[0,0]
(a)求T的標準矩陣表示 (b)求ker(t)∩im(T)
(10%)
4.求下面矩陣之反矩陣(a≠1)
┌1 0 a 0┐
│0 1 0 a│
│a 0 1 0│
└0 a 0 1┘
(15%)
5.設L為 R3中一直線, 對任一點pε R3, 令T(p)表自p向L作垂線之垂足 (T(p)εL)
(a)設L: x/2 = y/x = z/1 , 求代表T的3×3矩陣
(b)求T的rank (c)求T的kernel
(15%)
6.(a)線性映射P: Rn→ Rn滿足P^2 = P, 求證kerP∩imP = {0}
(b)n×n方陣A, 若kerA∩imA = {0}, 證明rank(A‧A)=rankA
(15%)
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